板 块 一 梅涅劳斯定理及其逆定理 梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC△的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AFBD CEFBDCEA．这条直线叫ABC△的梅氏线，ABC△叫梅氏三角形． GFEDCBAGFEDCBA H 3H 2H 1FEDCBA 证法一：如左图，过C 作CG ∥ DF DBFBDCFG，ECFGAEAF ∴1AFBD CEAFFBFGFBDCEAFBFGAF． 证法二：如中图，过A 作AGBD∥交DF 的延长线于G ∴ AFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG 三式相乘即得：1AFBD CEAGBDDCFBDCEABD DCAG． 证法三：如右图，分别过A B C、、作DE 的垂线，分别交于123HHH、、． 则有123AHBHCH∥∥， 所以3122311CHAHBHAFBD CEFBDCEABHCHAH． 梅涅劳斯定理的逆定理：若 F 、D 、E 分别是ABC△的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点， 如果1AFBD CEFBDCEA，则 F 、D 、E 三点共线． 知识导航 梅涅劳斯定理与塞瓦定理 【例1】 如图，在ABC△中，AD 为中线，过点C 任作一直线交 AB 于点 F ，交 AD 于点 E ，求证：:2:AE EDAF FB． ECDBFA 【解析】 直线FEC 是ABD△的梅氏线， ∴1AEDCBFEDBCFA ． 而12DCBC ，∴112AEBFEDFA ，即2AEAFEDBF． 习题1. 在△ ABC 中，D 是 BC 的中点，经过点 D 的直线交 AB 于点 E ，交 CA 的延长线于点F ．求证： FAEAFCEB． EFBDCA 【解析】 直线截ABC△三边于 D 、 E 、 F 三点，应用梅氏定理，知1CD BEAFDBEA FC ，又因为BDBC，所以1BEAFEA FC ，即 FAEAFCEB． 习题2. 如图，在△ ABC 中， 90ACB ，ACBC． AM 为 BC 边上的中线， CDAM于点 D ，CD 的延长线交 AB 于点 E ．求 AEEB． 夯实基础 DEBMCA 【解析】 由题设，在Rt AMC△中，CDAM，2ACCM， 由射影定理224ADAD AMACDMDM AMCM． 对ABM△和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AEBCMDEB CMDA ，即2 111 4AEEB ． 所以2AEEB ． 【例2】 如图，在ABC△中， D 为 AC 中点， BEEFFC，求证：::5:3: 2BMMN ND ． NMDCFEBA 【解析】 直线AE 是BCD△的梅氏线， ∴1BMDA CEMDACEB ． ∴1 212 1BMMD ，∴11BMMD 直线AF 是BCD△的梅氏线， ∴1BN DA CFNDACFB ， ∴1 112 2...
