圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用 刘定勇 (安徽省宁国中学 ,242300) 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二:其一,有高等数学背景,结论非常完美;其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论: 命题 1 椭圆12222 byax,点00, yxP对应的极线12020byyaxx. 双曲线12222 byax,点00, yxP对应的极线12020byyaxx. 抛物线pxy22 ,点00, yxP对应的极线000pxyypx. 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P,则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图: 题1、(2010 湖北文 15).已知椭圆12:22 yxC的两焦点为12,F F ,点00, yxP满足2200012xy,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______,直线1200yyxx与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外 解析:第一个问题,依题意知,点P 在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得范围为22,2. 第二个问题,其实是非常容易做错的题目.因为00, yxP在椭圆12:22 yxC的内部,所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点,但直线1200yyxx并不经过00, yxP.还有学生看到1200yyxx这样的结构,认为是切线,所以判断有一个公共点. 事实上,1200yyxx是00, yxP对应的极线,00, yxP在椭圆12:22 yxC的内部,由命题2 画出相应极线,此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0 个.如果能够用极点与极线理论,本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2 、(2010 重庆文 21)已知以原点O 为中心,( 5,0)F为右焦点的双曲线C 的离心率52e . (Ⅰ)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题图,已知过点11( ,)M xy的直线1l :1144x xy y与过点22(,)N xy(其中21xx)的直线2l :2244x xy y的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H两点,求OHOG 的值. 解析:(I)C 的标准方程为.1422 yx C 的渐近线方程为.21 xy (II ) 如图,直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上显然是椭圆4422yx的两条切线,由题意点),(EE yxE在直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上,MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线MN ...