习题二 1. 求映射 1wzz下圆周||2z 的像. 解：设 i ,izxywuv则 2222221iiiii()ixyxyuvxyxyxyxyxyxyxy 因为224xy,所以 53i44uivxy 所以 54ux,34vy 5344,uvxy 所以 2253442uv即 222253221uv，表示椭圆. 2. 在映射2wz下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e iw或iwuv. （1）π02,4r； （2）π02, 04r; (3) x=a, y=b.(a, b 为实数) 解：设222i()2iwuvxiyxyxy 所以22 ,2.uxyvxy (1) 记e iw，则π02,4r映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 (2) 记e iw，则 π0, 024r映成了 w 平面上扇形域，即π04, 0.2 (3) 记wuiv，则将直线x=a 映成了22 ,2.uayvay即2224().vaau是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22 ,2.uxbvxb 即2224()vbbu是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 3 . 求下列极限. (1) 21lim1zz ; 解：令1zt,则,0zt . 于是22201limlim011zttzt . (2) 0Re( )limzzz; 解：设 z=x+yi，则R e( )izxzxy有 000Re( )1limlimi1izxykxzxzxkxk 显然当取不同的值时 f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim(1)zizizz； 解：2lim(1)zizizz=11limlim()()()2ziziziz izziz iz . （4） 2122lim1zz zzzz. 解：因为222(2)(1)2 ,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz 所以2112223limlim112zzz zzzzzz. 4 . 讨论下列函数的连续性： (1) 22 ,0,( )0,0;xyzxyfzz 解：因为220(,)(0,0 )lim( )limzx yxyfzxy, 若令y=kx,则222(,)(0 ,0 )lim1x yxykxyk, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0 处极限不存在. 从而f(z)在z=0 处不连续，除z=0 外连续. (2) 342 ,0,( )0,0.x yzfzxyz 解：因为33422022xyxx yxyxy, 所以342(,)( 0 ,0 )lim0(0)x yx yfxy 所以f(z)在整个z 平面连续. 5 . 下列函数在何处求导？并求其导数. (1) 1( )(1) nf zz...
