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七章 实数的完备性 判断题： 1. 1. 设11,1,2,2Hnnn为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点. 3. 3. 设S 为 闭区间 ,a b , 若,xS则 x必为S 的聚点. 4. 4. 若limnna存在, 则点集 na只有一个聚点. 5. 5. 非空有界点集必有聚点. 6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集. 7. 7. 如果闭区间列[,]nna b满足条件 11[,][,],1,2,nnnna babn, 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若( )f x 在[ , ]a b 上一致连续, 则( )f x 在[ , ]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界. 10. 10. 设( )f x 为R 上连续的周期函数, 则( )f x 在R 上有最大值与最小值. 答案: √√√√×××√√√ 证明题 1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,xA yB 有 xy, 则supinfAB. 2. 证明: 若函数( )f x 在( , )a b 单调增加, 且( , )xa b , 有( )f xM(其中 M 是常数), 则 ,cM  使 lim( )xbf xc. 3. 证 明 : 若E 是非空有上界数集, 设 sup,Ea且 aE, 则 存在数列1,,nnnxE xxnN, 有 limnnxa. 4. 证明: 函数( )f x 在开区间( , )a b 一致连续 函数( )f x 在开区间( , )a b 连续, 且(0)f a 与(0)f b 都存在. 5.设 nx为单调数列,证明: 若 nx存在聚点,则必是唯一的, 且为 nx的确界. 6. 证明: sin( )xf xx在0, 上一致连续. 7. 证明:  nx为有界数列的充要条件是 nx的任一子列都存在其收敛子列. 8. 设( )f x 在,a b 上连续, 又 有  ,nxa b, 使 lim()nnf xA. 证 明 : 存在0,xa b, 使得 0()f xA. 答案 1.证明: 设sup, inf.AaBb 用反证法. 假设 s u pi n fAB 即 ,ba有2abba, 一方面, sup,2abaA 则存在 00,;2abxAx另一方面, inf,2abbB 则00,2abyBy. 于是, 00,xAyB有002abyx, 与已知条件矛盾, 即 supinfAB. 2. 证明: 已知数集 ( )( , )f x xa b有上界, 则其存在上确界, 设 sup( )( , )f x xa bcM 由上确界的定义, 00,( , )xa b , 使得 0(),cf xc 00 ,...