数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前 n 项和与通项的关系an＝S1Sn－Sn－1n＝ 1，n≥2 ；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－ an＝f(n)， 累积法，如an＋1an ＝f(n)；(5)转化法： an＋1＝Aan＋B(A≠0，且 A≠ 1)．2、求和常用的方法：(1)公式法：①dnnnaaanSnn2)1(2)(11②)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn(2)裂项求和： 将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：①111(1)1n nnn②11 11()()n nkknnk③222111111111111();12111(1)(1)1kkkkkkkkkkkkk④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn⑤2122(1)2(1)11nnnnnnnnn(3)错位相减法： 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) . (4)倒序相加法： 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) . (5)分组求和法： 在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式 ”中“同类项 ”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点 1：求数列的通项[ 题型 1] )(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法 (逐差相加法 )求解。【例 1】已知数列na满足211a，nnaann211，求na 。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121[ 题型 2] nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。【例 2】已知数列na满足321a，nnanna11，求na 。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312????nnaaaaaaaann1433221naa n11又321a，nan32[ 题型 3]qpaann 1(其中 p，q 均为常数，且0)1(ppq)。解法 (待定系数法 )：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。【例 3】已知数列na中，11a，321nnaa，求na 。解 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann. 故 递 推 公 式 为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项， 2 为公...
