数学专题讲义---数列VIP专享VIP免费

精选一． 等差、等比数列的基本理论⑴等差、等比数列：⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n) ③bknan(kn, 为常数 ). ⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：①1 (2,)nnaaq nq为非零常数②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)③nncqa(qc,为非零常数 ). ⑷数列 {na } 的前 n 项和nS 与其通项na 之间的关系：)2()1(111nssnasannn例1.在等差数列na中，972S。求249?aaa解： 法一：因为9119(91)9936722Sadad数列等差数列等比数列定义1nnaad)0(1qqaann递推公式daann1；nn maamdqaann1 ；mnmnqaa通项公式1(1)naand11nnqaa（0,1 qa）前 n 项和公式11(1)22nnaan nSnnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaa qaqqqq当时当时重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm精选所以148ad249113123(4 )3824aaaadad法二：因为91289...72Saaaa而19285...2aaaaa所以5972a58a249533 824aaaa例2.在等比数列na中，11a，634SS 。求4?a解： 因为634SS所以公比1q（事实上，若1q，则6166Sa，3133Sa此时显然不满足题设条件634SS ）于是有6311(1)(1)411aqaqqq6314(1)qq又6331(1)(1)qqq314q33q3411 33aa q例3.在等差数列na中，535aa 。求95?SS解： 法一：19551513319(91)999(4 )992595(51)5(2 )55552adSaaadSadaaad法二：因为95539,5SaSa所以955533999 59555SaaSaa例4.设数列na满足11a，12nnaa ， n。求5?a，8?S解： 因为12nnaa精选所以12nnaana是以11a为首项，2q为公比的等比数列1111122nnnnaa q45216a；8881 (12 )2125512S例5.设数列na满足431na， 410na， 2nnaa ，n。求2009?a， 2014?a解： 因为 20094 503 3所以20094 503 31aa又 20142 100720142 100710074 252 10aaaa例6.设等差数列na的前 n 项和为nS ，等比数列nb的前 n 项和为nT ，且公比为正数，1133331,3,17,12ababTS。求,nnab解： 设na的公差为 d ，nb的公比为 q则由11331,3,17abab，有211(2 )17adb q即2(12 )317dq；亦即23216qd①又由11331,3,12abTS，有311(1)3(3 1)[3]1212bqadq即33 (1)(33 )121qdq；亦即233312qqd②①- ②，得 534dq345qd（﹡）将345qd代入①，得23432165qq化简整理，得252240qq(2)(512)0qq122(,)5qq舍去这是因为已知公比为正数将2q代入（﹡），得2d精选故1(1) 221nann；13 2nnb例 7.已知等差数列na中，374616,0a aaa。求nS解： 因为4637aaaa所以由已知460aa，有370...