《数学分析选讲》第三次主观题作业一、判断下列命题的正误1. 若函数)(xf在点0x 处的左、右导数都存在，则)(xf在0x 处必连续 . （正确）2. 若)(xf在0x 处可导，则)(xf在0x 处可微．（正确）3. 若两个函数在区间I 上的导数处处相等, 则这两个函数必相等. （正错）4. 若)(xf是可导的偶函数，则(0)0f. （正确）5．若0( , )xa b 是)(xf的导函数的间断点，则0x 是( )fx 的第二类间断点. （正确）二、选择题1．设 f 是奇函数，且0)(lim0xxfx，则 （ A ）A )(xfy在0x的切线平行于x 轴； B 0x是 f 的极大值点；C 0x是 f 的极小值点； D )( xfy在0x的切线不平行于x 轴2．设)()()(xaxxf，其中)(x 在ax处连续但不可导， 则( )fa（ B ）A )(a ； B ( )a； C ( )a； D 不存在3．设 f 可导，则(sec )d fx（ B ）A 2(sec )secfxx dx ； B (sec )sectanfxxxdx ；C (sec )secfxxdx ； D 2(sec ) tanfxxdx4．设函数( )f x 可导且下列极限均存在，则不成立的是（ B ）A 0( )(0)lim(0)xf xffx； B 0000(2 )()lim()hf xhf xfxh；C 0000()()lim()2hf xhf xhfxh； D 0000()()lim()hf xf xhfxh5．设( )lnf xxx ，且0()2fx， 则0()f x（ C ）A e2； B 2e； C e； D 1 6. 已知xfey，则 y =（ C ）A ( )( )fxefx ； B xfe； C ( )2{[( )]( )}f xefxfx； D ( )[( )( )]fxefxfx7．下列结论中正确的有（ D ）A 如果点0x 是函数( )fx 的极值点，则有0()0fx；B 如果0()0fx，则点0x 必是函数( )f x 的极值点；C 函数( )f x 在区间 ( , )a b 内的极大值一定大于极小值；D 如果点0x 是函数( )fx 的极值点，且0()fx存在，则必有0()0fx8．设)(xf可导，则220()( )limhfxhfxh（ D ）A ( )fx； B 2( )fx； C 0 ； D 2( )( )f x fx三、计算题1．已 知221ln(1)yxxx， 求 y解：11221122222xxxxxxy11111222xxxxx2．设21arcsinyxxx ， 求 y . 3．设11)(2xbaxxxxf，试确定 a ， b 的值，使f 在1x可导 . 解：要使f 在1x可导， f 在1x必连续，于是必左连续. 1)1()(lim)(lim11fbabaxxfxx，从而ab1. f 在1x的右导数211lim1)1()(lim)1(2231xxxfxffxx. 左导数为axaaxxbaxxfxffxxx111lim11lim1)1()(lim)1(1211，只要2a，则 f 在1x的左导数与右导数相等，从而可导。这时1b. 4．用洛比塔法则求极限)111(lim0xxex解：00001111limlimlimlim1(1)12xxxxxxxxxxxxxexeexex eexeexe011lim22xx. 四、证明题1． 证 明 ：当)3,0(x时 ，3tan3xxx . 证： 设3tan)(3xxxxf，则 f 在0x连续，且0)0(f. 因为0tan1sec)(2222xxxxxf，)3,0(x，故 f 在)3,0(严格单调递增，又因f 在0x连续，于是0)0()(fxf，从而3tan3xxx，)3,0(x. 2．证 明 ：当0x时 ，1xex . 证 明 ：( )f x =xex1)(f/ x1xe0x则xe ＞1 所以0x时( )f x 是增函数所以0x时( )f x＞0f所以xex1＞0 所以0x时 ，1xex
