线性代数(周勇)文档VIP免费

线性代数 第一章行列式 第一节二阶与三阶行列式 一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组 1 111 22a xaxb 21 12222a xa xb （１．１） 使用加减消元法，当112212210a aa a时，方程组(1.1)有解为，1222122111211211 12122111221221,b ab ab ab axxa aa aa aa a ． （１．２） (1.2)式中的分子、分母都是4 个数分两对相乘再相减而得．其中分母11221221a aa a是由方程组(1.1)的4个系数确定的，把这4 个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表 11122122aaaa （１．３） 表达式11221221a aa a称为数表(1.3)所确定的行列式，记作 11122122aaaa， （１．４） 数ija (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.4)的元素．元素ija 的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列． 上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1 所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积． 图 1-1 例13221＝３×１－（－２）×２＝７. 二、 三阶行列式 三、 定义1.1 设有9 个数排成3 行3 列的数表 111213212223313233aaaaaaaaa （１．5） 用记号 111213212223313233aaaaaaaaa 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即 Ｄ＝111213212223313233aaaaaaaaa =112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a （１．６） 三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1-2 所示，其中各实线连接的3 个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的3 个元素的乘积是代数和中的负项． 图 1-2 例2 计算三阶行列式 Ｄ＝123221345 解 由对角线法则 Ｄ＝１×（－２）×（－５）＋２×（－１）×（－３）＋３×４×２－ ３×（－２）×（－３）－２×２×（－５）－１×４×（－１）＝４６． 例3 1010411aa>0 的充分必要条件是什么? 解 由对角线法则 1010411aa=21a  21a  ＞0 当且仅当｜a｜＞1，因此可得： 1010411aa＞0 的充分必要条件是｜a｜＞1． 第二节 n 阶行列式的定义 一、 全排列及其逆序数 把n 个不同元素按某种次序排成一列，称为n...