线性代数 第一章行列式 第一节二阶与三阶行列式 一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组 1 111 22a xaxb 21 12222a xa xb (1.1) 使用加减消元法,当112212210a aa a时,方程组(1.1)有解为,1222122111211211 12122111221221,b ab ab ab axxa aa aa aa a . (1.2) (1.2)式中的分子、分母都是4 个数分两对相乘再相减而得.其中分母11221221a aa a是由方程组(1.1)的4个系数确定的,把这4 个数按它们在方程组(1.1)中的位置,排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表 11122122aaaa (1.3) 表达式11221221a aa a称为数表(1.3)所确定的行列式,记作 11122122aaaa, (1.4) 数ija (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.4)的元素.元素ija 的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列. 上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆.如图1-1 所示,即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积. 图 1-1 例13221=3×1-(-2)×2=7. 二、 三阶行列式 三、 定义1.1 设有9 个数排成3 行3 列的数表 111213212223313233aaaaaaaaa (1.5) 用记号 111213212223313233aaaaaaaaa 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式,即 D=111213212223313233aaaaaaaaa =112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a (1.6) 三阶行列式表示的代数和,也可以由下面的对角线法则来记忆,如图1-2 所示,其中各实线连接的3 个元素的乘积是代数和中的正项,各虚线连接的3 个元素的乘积是代数和中的负项. 图 1-2 例2 计算三阶行列式 D=123221345 解 由对角线法则 D=1×(-2)×(-5)+2×(-1)×(-3)+3×4×2- 3×(-2)×(-3)-2×2×(-5)-1×4×(-1)=46. 例3 1010411aa>0 的充分必要条件是什么? 解 由对角线法则 1010411aa=21a 21a >0 当且仅当|a|>1,因此可得: 1010411aa>0 的充分必要条件是|a|>1. 第二节 n 阶行列式的定义 一、 全排列及其逆序数 把n 个不同元素按某种次序排成一列,称为n...