§4 从倍周期分定走向混沌 4-1 逻辑斯谛（Logistic）映射 我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加λ 倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有： iNoiiiNNN11++==λλ (4-1) iN,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2iNoNoiiNNx =，则该模型由一个迭代方程表示： 21iiiNNNλλ−=+ 即为： )1(1iiixxx−=+λ （4-2） 其中：]4,0[],1,0[∈∈λix。 （4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。 4-2 倍周期分歧走向混沌 借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。 （一）迭代过程 迭代过程可以用图解来表示。图 4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。45º线表示nx1+nxnnxx=+1的关 系。由水平轴上 的初始 点作竖直线，找 到与 抛物线的交点，A 的纵 坐 标 就是。由点)0,(0xR),(10 xxA1x),(10 xxA作水平直线，求它与 45º线的 交 点，经B 点 再 作竖 直线，求得 与抛 物线的 交 点，这 样 就 得 到了 。 仿 此 做 法 可 得 到 所 迭 代 点 。 ),(11 xxB),(21 xx2x从 任 何 初 始 值 出 发 迭 代 时 ，一 般 有 个 暂 态 过 程 。 但 我 们 关 心 的 不 是 暂 态 过 程 ，而 是 这所 趋 向 的 终 态 集 。 终 态 集 的 情 况 与控 制 参 数 λ 有 很 大 关 系 。 增 加 λ 值 就 意 味 着 增 加 系 统 的非 线性 的 程 度 。 改 变 λ 值 ，不 仅 仅 改 变 了 终 态 的 量 ，而 且 也 改 变 了 终 态 的 质 。 它所 影 响 的不 仅 仅 是 终 态 所 包 含 的 定 态 的 个 数 和 大 小 ，而 且 也 影 响 到 终 态 究 竟 会 不 会 达 到 稳 定 。 （ 二 ） 终 态 性 质 ① 当31<< γ时 ，迭 代 结 果 的 归 宿 是 一 个 确 定 值 ，趋 于 一 个 不 动 点 ，即 抛 物 线与 45º线的 交 点 ，这 相 当 于 系 统 处 于 一 个 稳 定 态 ...
