柯西不等式(原始版)的习题分类柯西不等式已经成为高考当中的新贵,去年全国卷II 的选修 4-5 不等式选讲,已经出现了柯西不等式命题,因此对柯西不等式几种典型习题加以分类,有助于知识的掌握。一、 柯西不等式(原始版)1、2221122212221bababbaa,当且仅当向量21,aaa,21,bbb同向时候成立,如果0,21 bb时,那么当且仅当2211baba时成立。2、2332211232221232221babababbbaaa,当且仅当321321::::bbbaaa时等号成立。3、211212nkkknkknkkbaba,当且仅当nnbbbbaaaa:...::::...:::321321时等号成立。由以上柯西不等式(原始版)来看,柯西不等式是齐次,不等式左右两边的式子的次数相等,因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。二、 常见题型1、常数次次11。例 1、已知1ba,且0,ba,求ba11的最小值。解析:这道题的方法非常多,利用二元的均值定理可以求解,但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是kba11, k 为某个常数,那么不等式左边1次,右边为 0 次,并不相等,所以左边要乘以ba,这样左边变成了baba11,次数就成为了 0,就可以应用柯西不等式。41111112bbaabababa,当且仅当21ba时等号成立, 所以ba11的最小值为 4。显然以上对例1 的求解,柯西不等式比均值定理更为简单,有些优势,而且柯西不等式的应用范围更加广泛。例 2、若0,,cba,求证9111cbacba。解析:可以直接应用柯西不等式91111112ccbbaacbacba,当且仅当1cba时等号成立。练习:1、已知0,,cba,证明:cbacba9111。2、已知0,,cba,证明:cbaaccbba29111。提示:accbbacba2。3、已知0,,cba,并且1cba,求acbcbabac的最小值。提示:babac11;cbcba11;acacb11。4:已知cba,证明cacbba411。提示:设bax,cby,则yxca,且0, yx。2、次常数次12例 3、已知1422yx,求yx的取值范围。解析:这道题可以用椭圆求切线的方法,也可以利用参数方程,但是利用柯西不等式会更简单。这类问题是转化形如221224yxkkyx(21,kk为某两个常数) 的柯西不等式进行求解,关键是常数21,kk的确定。观察柯西不等式2221122212221bababbaa,有222iiiibaba,2,1i,相应的2124xkx,222yky,易得1,421kk。所以222144yxyx,即251yx,所以55yx。例 4、已知1222zyx,求zyx32的取值范围。分析:需要转化为形如232122232zyxkkkzyx的柯西不等式,有212xkx,2224yky,2329zkz,解得9,4,1321kkk。解:222232941zyxzyx,即13322zyx,所以133213zyx。例 5、已知1zyx,求2222zyx的最小...