塞瓦定理设 O 是△ABC 内任意一点，AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 ??BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：∵△ADC 被直线 BOE 所截，∴? ?CB/BD*DO/OA*AE/EC=1?? ①而由△ ABD 被直线 COF 所截，∴ ??BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷② :即得： BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S△BOD/S △COD=(S △ABD-S△BOD)/(S △ACD-S△COD)=S△AOB/S △AOC??③同理 CE/EA=S △BOC/ S△AOB??④? ?? ? AF/FB=S△AOC/S △BOC? ?⑤C B A 1A1B1C③×④×⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理：1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设,111BCMACMABPBMPABMACPCMPACMABMBCMAPBQCRMSSSSSBPCQARPCSSSQASRBSBP CQARPCQARBBP CQARAPBQMCMABRPCQARBBP CQARARPCQAR B‘拻‘证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝再证充分性：若，设与相交于，且直线交于，由塞瓦定理有：，于是：ARRRR BRBABRRAPBQCRM’‘’＝因为和都在线段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；交于一点；：证明：三角形的中线例11111111111111111111111,,1ACBACBABCAABBCCC BACB AACBACBACC B BAAC CBB AABCC BACB A证明：记的中线，，，我们只须证明而显然有：即成立，交于一点；111CKABCKBMANPCKBMANAMCNBKMCCNMCNBAKAMBKAMALAMLAKCAKNBAKACBKBCALBCBNLBKCNBBLACBL证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1ALBCACBLCKBMANPCPAB依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点3.ADABCDBCPADBPCPACABEFEDAFDA例 设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于 和 ，则＝AADDEDFMNEDAFDA证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。欲证，课外作业：课后练习答案：三条高、M Q R A C P B C B A 1A1B1CC B A 1A1B1CK L N M C B A 一、选择题1、如图：设一直线与△ ABC 的边 AB、AC 及 BC 延长线分别交于 X、Y、Z，则CYAYZCBZXBAX与的关系为（）A、CYAYZCBZXBAXB 、CYAYZCBZXBAXC、CYAYZCBZXBAXD、不能确定2、如图：设 X、Y、Z 分别是△ ABC 的边 BC、AC、AB 上的点， AX 、BY、CZ 相交于点 O，则YCAYXCBXZBAZ与的关系为（）A、YCAYXCBXZBAZ；B 、YCAYXCBXZBAZ； C 、YCAYXCBXZBAZ；D 、 不能确定3、如图，在△ ABC 中，F 点分 AC 成 1：2，G 是 BF 的中点， AG 的延长线交 BC 于 E，那么E 分 BC 边所成的比为（）A、41B、21C、52D、314、如图， F、D、E 分等边△ ABC 的三边 AB、BC、CA 均为 1：2 两部分， AD 、BE、CF 相交成△ PQR 的面积是△ ABC 面积的（）A、101B、91C、81D、71第 1 题A B Z C X Y A C Z Y O X B 第 2 题第 4 题A B C R P E F D Q 第 3 题A C B F G E
