专题九 关于函数与函数的关系及应用 问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是 函数与 函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为 函数与 函数。即： (s)10sxxe dx (1) (p,q)1110(1)pqxxdx (2) (1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ， 函数与 函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题2：函数与函数的定义域是什么？ 答：（一）、 函数的定义域：(s)的定义域为0s . 事实上，（1）当s 1时，0x 不是被积函数的瑕点，因此取1p 都有1lim()0psxxxxe，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s<1时，0x 是被积函数的瑕点，此时，有 (s)=11101sxsxxe dxxe dx= ( )( )I sJ s 其中( )J s 对任何s 都是收敛的， 又1100lim()lim1ssxxxxxxee ，所以110sxdx与 110sxxe dx在0x 点是等价的，当11s 时，110sxdx是收敛，当11s 时，110sxdx是发散．所以当01s 时(s)是收敛的． 综上可知(s)的定义域为0s . （二）、 函数的定义域：0,0pq。 事实上，(p,q)=11111111121002(1)(1)(1)pqpqpqxxdxxxdxxxdx= IJ 而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又 111100lim(1)lim(1)1ppqqxxxxxx ∴ 在0x ，1px 与11(1)pqxx等价，∴ 当11p 时，1px 收敛， 所以0p 时， 11(1)pqxx在0x 收敛． 2 同理0q 时，11(1)pqxx在1x 时收敛． 综上可知当0p 且0q 时 1110(1)pqxxdx收敛，所以(p,q)的定义域为0p 且0q 。 问题3：函数有些什么性质？ 答： 函数具有如下性质： （1） 函数的连续性 (s)在（0，+ ）上连续，由 (s)= ( )( )I sJ s,只证 ( )I s 与 ( )J s 在（0，+ ）内连续即可．在任意闭区间[ , ]a b (0a )上对于函数 ( )I s 当1x 有11sxaxxexe由于11bxxe dx收敛由附录中的定理5，知( )I s )在[ , ]a b 上一致收敛，对于 ( )I s 当01x时有1sxxe 在[ , ;0,1]a b 上连续，所以( )I s 在[ , ]a b 连...
