16 第三章 复变函数的积分 §3 -1 复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以 z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C上取一系列分点011,,,,nnzzzzz把C 分为 n 段，在每一小段[1kkzz]上任取一点k 作和数： 111nnnkkkkkkkSfzzfz, 其中1kkkzzz 如果当 n 且每一小段的长度（1||||kkkzzz）趋于零时， 和式1nkkkfz的极限存在，并且其值与kz 及k 的选取方式无关，则称这一极限为 fz 沿路径C 由0z 到 z 的积分: 1limlimnnkkCnnkfzd zSfz ， C 称为积分路径（ fz 在C 上取值，即 z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： Cfz dz. (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。) 1 7 2 ．因为 zxiy，dzdxidy， ,,fzux yiv x y，于是 ,,CCfz dzux yivx ydxidy ,,,,CCu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3 ．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1 ）0Cd zzz，z 、0z 分别为C 之起点、终点。 （2 ） 11221122CCCa fza fzdzafz dzafz dz，1a 、2a 为复常数。 （3 ） 12CCCfz dzfz dzfz dz, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接而成。 （4 ）CCfzdzfzdz , C 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4 ．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分 Cfz dz时必须先规定积分路径的环绕方向（因为： CCfzdzfzdz ）。 以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C 代表顺时钟方向) 1 8 例： 试证...
