“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)VIP免费

“PA+k·PB” 型的最值问题 当k 值为1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。 当k 取任意不为1 的正数时，通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为2 类研究。 其中 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 一、“将军饮马”模型 “将军饮马”：把河岸看作直线 L，先取 A（或 B）关于直线 L 的对称点 A′（或 B′），连接 A′B（或 B′A），并与直线交于一点 P，则点 P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。 例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 。 例2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，动点 P 满足 S△PAB＝ 31S矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 ． 例3. 如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且 OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；当△PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 。 变式：“造桥选址”模型 例4. 如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB=302．试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB 的值为 。 例5. 如图，CD 是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且 CD=2，点 A（4，0），连接 AC、AD，设 C 点横坐标为 m，求 m 为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。 二、“胡不归”模型 有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A 是出发地，B 是目的地；AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程 AB。 但是，他忽略了在驿道上（V 1）行走要比在砂土地带（V 2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。...