第 3 讲坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l 的方程为 ρ sin θ＝3，求点2，π6 到直线 l 的距离．解 直线 l 的极坐标方程可化为y＝3，点 2，π6 化为直角坐标为(3，1)∴点 2，π6 到直线 l 的距离为 2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ 与直线 3ρ cos θ ＋4ρsin θ ＋a＝0 相切，求实数a 的值．解化为平面直角坐标系：圆： x2－2x＋y2＝0，即： (x－ 1)2＋y2＝1. 直线： 3x＋4y＋a＝0. 直线和圆相切，∴|3＋a|32＋42＝1，∴a＝2 或 a＝－ 8. 3．在极坐标系中，已知点O(0,0) ，P 3 2，π4 ，求以 OP 为直径的圆的极坐标方程．解设点 Q(ρ，θ )为以 OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点 )，在 Rt△OQP 中， ρ＝32cos θ－π4 ，故所求圆的极坐标方程为ρ＝3 2cos θ－π4 . 4．从极点 O 作直线与另一直线ρ cos θ＝4 相交于点 M ，在 OM 上取一点 P，使 |OM| ·|OP|＝12，求点P 的轨迹方程．解设动点 P 的坐标为 ( ρ，θ )，则 M(ρ 0，θ )． |OM|· |OP|＝12. ρ 0ρ＝ 12. ρ 0＝12ρ . 又 M 在直线 ρ cos θ＝4 上，∴ 12ρ cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ .这就是点 P 的轨迹方程．5．在极坐标系中，P 是曲线 ρ＝12sin θ 上的动点， Q 是曲线 ρ＝12cos ( θ－π6 )上的动点，试求PQ的最大值．解 ρ＝12sin θ . ∴ρ 2＝12ρsin θ 化为直角坐标方程为x2＋y2－12y＝0，即 x2＋(y－6)2＝36. 又 ρ＝12cos ( θ－π6 )，∴ρ 2＝12ρ (cos θ cos π6 ＋sin θ sin π6 )，∴有 x2＋y2－63x－6y＝0，即(x－33)2＋ (y－ 3)2＝36，∴PQmax＝6＋6＋（ 3 3） 2＋（－ 3）2＝18. 6．设过原点 O 的直线与圆 (x－ 1)2＋y2＝ 1 的一个交点为P，点 M 为线段 OP 的中点， 当点 P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解圆(x－1)2＋y2＝1 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－π2≤θ ≤π2 ，设点 P 的极坐标为 ( ρ 1，θ 1)，点 M 的极坐标为 ( ρ，θ )， 点 M 为线段 OP 的中点，∴ ρ 1＝ 2ρ，θ 1＝θ，将 ρ 1＝2ρ，θ 1＝θ 代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ .∴点 M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ－π2≤θ ≤π2 ，它表示原心在点12，0 ，半径为 12的圆．7．⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方...
