关 于 双 十 字 相 乘和长十 字 相 乘 1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是关于 x 的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解 所以 原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx． 例 1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解 (1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)． (3)原式中缺 x2 项，可把这一项的系数看成 0 来分解． 原式=(y+1)(x+y-2)． (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似． 2．求根法 我们把形如 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于 x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表示．如对上面的多项式 f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根． 定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一个因式 x-a． 根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式 f(x)的系数都是整数时，即整...
