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关于数项级数敛散性的判定

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关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题,是数学分析的一个重要部分.数项级数,从形式上看,就是无穷多个项的代数和,它是有限项代数和的延伸,因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起,其判别方法多样,技巧性也强,有时也需要多种方法结合使用,同时,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的工具,所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 数项级数1nnu 收敛 数项级数1nnu 的部分和数列 nS收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列 nS的极限是否存在的问题的讨论,但由于求数列前n 项和的问题比较困难,甚至可能不可求,因此,在实际问题中,应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ( 1 ) 若 级数1nnu与 1nnv都 收 敛, 则 对 任 意 常 数c,d, 级数1)(nnndvcu亦 收 敛, 且111)(nnnnnnnvducdvcu;相反的,若级数1)(nnndvcu收敛,则不能够推出级数1nnu 与1nnv 都收敛. 注:特殊的,对于级数1nnu 与1nnv ,当两个级数都收敛时,1)(nnnvu必收敛;当其中一个收敛,另一个发散时,1)(nnnvu一定发散;当两个都发散时,1)(nnnvu可能收敛也可能发散. 例 1 判定级数1)5131(nnn与级数1)211(nnn的敛散性. 解:因为级数1 31nn 与级数1 51nn 收敛,故级数1)5131(nnn收敛. 1 因为级数11n n发散,级数1 21nn 收敛,故级数1)211(nnn发散. (2)改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性. (3)在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的敛散性,也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下,对它的各项任意加括号后,得到的新级数还是收敛的;加括号后得到的新级数发散,那么原级数也是发散的. 例 2 判定级数1111121-1-21nn的敛散性. 解:先考察级数11111nnn,因为121111nnnun,而级数112n n发散,由于加括号后得到得新级数发散,则原级数发散. (4)级数收敛的必要条件 若级数1nnu 收敛,则0limnnu.若0limnnu,则级数...

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