关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 数项级数1nnu 收敛 数项级数1nnu 的部分和数列 nS收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列 nS的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 （ 1 ） 若 级数1nnu与 1nnv都 收 敛， 则 对 任 意 常 数c,d, 级数1)(nnndvcu亦 收 敛， 且111)(nnnnnnnvducdvcu;相反的，若级数1)(nnndvcu收敛，则不能够推出级数1nnu 与1nnv 都收敛. 注：特殊的，对于级数1nnu 与1nnv ，当两个级数都收敛时，1)(nnnvu必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，1)(nnnvu一定发散；当两个都发散时，1)(nnnvu可能收敛也可能发散. 例 1 判定级数1)5131(nnn与级数1)211(nnn的敛散性. 解：因为级数1 31nn 与级数1 51nn 收敛，故级数1)5131(nnn收敛. 1 因为级数11n n发散，级数1 21nn 收敛，故级数1)211(nnn发散. （2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性. （3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的. 例 2 判定级数1111121-1-21nn的敛散性. 解：先考察级数11111nnn，因为121111nnnun，而级数112n n发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散. （4）级数收敛的必要条件 若级数1nnu 收敛，则0limnnu.若0limnnu，则级数...