Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室函数的单调性与最值漫谈海南华侨中学黄玲玲函数的单调性与最值是中学数学的核心内容．从中学数学知识的网络来看，函数的单调性与最值在中学数学中起着“纽带”的作用，她承前于函数的值域、方程有解的条件、不等式证明，启后于数列的最值问题、导数的应用等知识．例如：求函数的值域，令，则，，则函数即为，由于，则函数在区间内是增函数，而，所以函数的值域为；方程在内有解，求实数的取值范围，由方程可变为，由于函数在区间内是减函数，在区间上是增函数，则，所以实数的取值范围是，在高三数学复习中要把函数（，）作为基本函数来掌握，它的图像如右下图所示，它在区间内为减函数，在区间内是增函数；第1页共11页Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室设正数，满足，求证：，设函数，则函数在区间内是减函数，由基本不等式有，则有，也就是；设数列，，，，…，，…的前项和为的最大值，假设最大，则，，，…，是递增的，，，…，是递减的，则有，即，解之或．函数的单调性与最值在中学阶段分两个时期渗透，前期是函数的初等方法，即利用函数的单调性和最值的定义解决简单的基本函数或简单的基本函数的简单复合形式的问题，后期是函数的后续性质，主要利用导数的性质来研究函数的单调性和最值，解决一元高次函数或简单的超越函数问题．下面分两个方面来漫谈：一、前期的函数的单调性和最值问题1．利用函数的单调性或最值来求函数的值域例1求函数的值域．分析：凡是分数的分子、分母都是整式，一般是把次数高的式子按次数低的式子进行配方，这样就能得到关于某个式子的基本形式的函数，从而利用基本函数的特性解决问题．解答：，第2页共11页Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室令，则在区间上是单调减函数，则，则．练习1已知函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，．（1）证明：；（2）证明：，；（3）若，满足不等式．求的取值范围．解：（1）依题意有：，∴，所以，，所以；（2）因为函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，，则判别式，即，设不妨设，（ ），∴，又，所以，；（3） ，∴，即，而， ，∴，∴第3页共11页Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室，所以的取值范围是．注意：令，则函数（）在区间上是减函数，在区间上是增函数，且或时取最大值；时取最小值．例2求函数的值域．分析：从广义上看项是项的二次关系，令，那么函数就可以变为关于的二次函数，利用二次函数的最值就能求出函数的值域．解答：令（），则，函数可变为，则，∴函数的值域为．练习2：求函数的值域．解：函数的定义域为，将函数变形为，则函数在区间上为减函数，所以，所以函数值域为．2．复合函数的单调性与最值问题例3求函数的单调递减区间．分析：这个函数可以看成复合函数，其中（或），，两个函数复合的单调性，是“同增异减”．第4页共11页Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室解答：函数的定义域为，令，，由于，当时，，，，所以函数的单调递减区间是，从图像上理解可以看下图：练习3：求函数的单调递减的区间．解：函数的定义域为，令，则（），当时，，，；或时，，，，所以函数的单调递减区间是和．例4设，求函数的最大值和最小值．分析：要把所给的函数化归成关于的二次函数形式，用配方法求指定区间内的最值．解答：． ，∴，第5页共11页Email:lihongqing999@163.com地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室∴当，即时，；当，即时，．练习4：若时，求函数的最大值和最小值．解：由，得，函数可化为，即，当时，；当时，．3．含有参变量的函数的单调性与最值问题例5求函数（）在区间上的最小值．分析：函数的最值点在区间的端点或处，由于点在变动，要分在区间内，或左侧，或右侧的情形进行讨论．解答：令，得，这是函数在区间内的图像的最低点的横坐标，即函数在上递...
