B'A'C'DFEͼ£¨ 2 £©BCAFEDCBAͼ£¨ 1 £©三角形“垂心”定理的 7 种证法 三角形“垂心”定理的证法1.1 定理： 三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）. 已知，如图（1）中,AD,BE,CF分别是边 BC,CA,AB 上的高. 求证: AD,BE,CF 相交于一点 1.2 预备定理: 1.塞瓦(Ceva)定理:设 D、E、F 分别是三边 BC、CA、AB 上的点,若,则 AD,BE,CF 交于一点.2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心.3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心.1.3 定理的证法 1.3.1 证法 1 如图（1），由已知可得，∽∽，∽三式相乘得：由塞瓦定理可得 AD，BE，CF 相交于一点.1.3.2 证法 2如图（2）分别过A、B、C 做它们所在高的垂线，使之相交成.则同理，13142FEBͼ£¨ 3 £©DCAH123ECBͼ£¨ 4 £©FDA可见，CF 为边的中垂线。同理可得，BE 为边的中垂线，AD 为边的中垂线.为三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、BE、CF 相交于一点. 1.3.3 证法 3如图（3）连结 DE，EF，FD，则 A、B、D、E 四点共圆，在和中，易知，又 A、F、D、C 四点共圆，，.可见，AD平 分. 同 理 可 得 ，BE 平分，CF 平分.在中，由 “ 内 心 ” 定 理 可 得，AD，BE，CF 相交于一点.1.3.4 证法 4如图（4）设 AB 边上的高 CF 与 BC 边上的高 AD 相交于H，连结 BH 并延长交 AC 于 E.连结 DF，因 A、F、D、C 四点共圆，又 B、D、H、F 四点共圆，，在 和中中，可知，，BE 为边 AC 上的高.由此可见，高 AD、BE、CF相交于一点.254321FEDCBAͼ£¨ 5£©H1.3.5 证法 5如 图 （ 5 ） 设 边 BC ， AC 上 的 高AD，BE 相交于 H.连结 DE，作于 F。连结 CH，则 A、B、D、E 四点共圆，又与互余，与4 互余.又 C、E、H、D 四点共圆，，。又，，C、H、F 三点共线。即 AB 边上的高 CF 经过 H 点。因而三条高 AD、BE、CF 相交于一点.1.3.6 证法 6如图（6）设 BC 边上的高 AD 与 AB 边上的高 CF 相交于 H，连结 BH 并延长交 AC于 E.建立如图所示的直角坐标系，并设 A、B、C 三点的坐标分别为：A（0，a），B（b,0），C（c,0）,则xyEB(b,0)A(0,a)ͼ£¨ 6 £©FD(0,0)C(c,0)3H即 BE 为 AC 边上的高。...
