立体几何——面角求法

1 / 7 二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角. 例 1 . 正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，求二面角 A-BD-C 1 的正切值为. 解析：易知∠ COC1 是二面角 C-BD-C 1 的平面角，且 tan∠COC1=2 。例 2.在锥体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的菱形，且∠ DAB=60，2PAPD,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点 . 求：二面角 P-AD-B 的余弦值 . 解：由（ 1）知PGB 为二面角 PADB 的平面角，在 Rt PGA 中 ，222172()24PG； 在 R tB G A中 ，222131()24BG；在PGB 中，22221cos27PGBGPBPGBPG BG. 2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点 P 作 PA⊥于 A，作 AB⊥l 于 B，连接 PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠ PBA 为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法. D B1 图 1 A O A1 C B D1 C1 O1A 图 3 P B lG P AＳBＳCＳDＳF E 2 / 7 例 3.如图 4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点 A 在直线 l 上的射影为A 1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA 1=1，BB 1= 2，求：二面角 A 1－AB －B1 的正弦值 . 分析与略解：作 A 1E⊥AB 1 于 AB 1于 E，则可证 A 1E⊥平面 AB 1B. 过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F，连接 A 1F，则得 A 1F⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=2，A 1B=3 ，A 1E=22 ，A 1F=23 ，则在 Rt△A 1EF 中， sin∠A 1FE=A 1EA 1F= 63. 例 4. 如图所示 , 在四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD为矩形 ,PA⊥平面 ABCD,点 E在线段 PC上,PC⊥平面 BDE. (1) 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A的正切值 . 解法一 : 由(1) 得 BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥AC. 又四边形 ABCD为矩形 , ∴四边形 ABCD是正方形 . 设 AC交 BD于 O点, PC⊥平面 BDE, ∴∠ BEO即为二面角 B-PC-A的平面角 . PA=1,AD=2,∴AC=2 ,BO=OC= , ∴PC==3, 图 4 B1A A1B lE F 3 / 7 又 OE= ==在直角三角形 BEO中,tan ∠BEO= ==3, ∴二面角 B-PC-A 的正切值为 3.例 5. (2010 重庆 , 19, 12分) 如图 , 四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD为矩形 , PA ⊥底面ABCD, PA=AB= , 点 E 是棱 PB的中点 . (1) 若 AD= , 求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值 . (1) 过点 D作 DF⊥...