考研数学一数一线代大题汇编

2017 （20 ）(本题满分11 分)．设 3矩阵123(,,)A有 3 个不同的特征值，3122（I）证明：(A)2r; （II）若123 ，求方程组Ax的解 . （21 ）（本题满分11 分）．设二次型222123123121323(,,)2282f xxxxxaxx xx xx x 在正交变换Qyx下的标准形为221122yy ，求 a 的值及一个正交矩阵Q 。2016 （20）（本题满分11 分）设矩阵1112221,11112AaBaaa当 a 为何值时，方程AXB 无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11 分）已知矩阵011230000A（I ）求99A（II ）设 3 阶矩阵23(,,)B满足2BBA ，记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。2015 (20)( 本题满 11 分) 设向量组1 ,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2kβαα ，22=2βα ，313=++1kβαα .（I）证明向量组123 为3R 的一个基 ; （II）当 k 为何值时，存在非0 向量 ξ 在基1,23,α αα 与基123 下的坐标相同，并求所有的 ξ . (21)( 本题满分11 分) 设矩阵02313312aA相似于矩阵12000031bB =. (I)求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1PAP 为对角矩阵 . 2014 20)( 本题满分 11 分 ) 设矩阵12340 1111203A， E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax的一个基础解系；(II)求满足 ABE 的所有矩阵 B . (21)( 本题满分11 分) 证明 n 阶矩阵111111111LLM MMML与00100200nLLMMMML相似 . 2013 （20 ）（本题满分11 分）设101,101aABb，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得 ACCAB ，并求所有矩阵 C 。（21 ）（本题满分11 分）设二次型22123112233112233,,2fx xxa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。（I）证明二次型f 对应的矩阵为2TT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122yy。2012 （20 ）（本题满分11 分）设100010001001aaAaa，1100（Ⅰ）计算行列式A. （Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解. （21 ）（本题满分11 分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()TTf x xxxA A x 的秩为 2 （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求利用正交变换xQy 将 f 化为标准形2011 20、（本题满分11 分）设向量组T)1,0,1(1，T)1,1,0(2，T)5,3,1(3不能由向量组T)1,1,1(1，T)3,2,1(2，Ta),4,3(3线性表示；（1）求 a 的值；（2）将321,,用321,,线性表示；21、（本题满分11 分）A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且11001111-...