数列裂项相消法

求数列{an}通项公式的方法复习 1．1na=na +)(nf型 累加法： na =（na －1na）+（1na－2na）+„+（2a －1a ）+1a =)1( nf+)2( nf+„+)1(f+1a 例1.已知数列{na }满足1a =1，1na=na +n2 （n∈N+），求na . [解] na =na －1na+1na－2na+„+2a －1a +1a =12 n+22 n+„+12 +1 =2121n=n2 －1 ∴na =n2 －1 （n∈N+） 2．)(1ngaann型 累乘法：na =1nnaa·21nnaa„12aa·1a 例2.已知数列{na }满足 naann1（n∈N+），1a =1，求na . [解] na =1nnaa·21nnaa„12aa·1a =（n－1）·（n－2）„1·1=（n－1）！ ∴na =（n－1）！ （n∈N+） 3．1na=pna +q 型（p 、q 为常数） 方法：（1）1na+1pq=)1( pqapn， 再根据等比数列的相关知识求na . （2）1na－na =)(1nnaap 再用累加法求na . （3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na . 例3.已知{na }的首项1a =a（a 为常数），na =21na+1（n∈N+，n≥2），求na . [解] 设na －λ =2（1na－λ ），则λ =－1 ∴na +1=2（1na+1） ∴{1na}为公比为2 的等比数列. ∴na +1=（a+1）·12 n ∴na =（a+1）·12 n－1 4．1na=pna +)(nf型（p 为常数） 方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf， 则{nnpa}可用累加法求出，由此求na . 例 4.已知{na }满足1a =2，1na=2na +12 n.求na . [解] 112 nna=nna2+1 ∴{nna2}为等差数列. nna2=nna121 ∴na =n·n2 5．“已知nS ，求na ”型 方法：na =nS －1nS（注意1a 是否符合） 例 6.设nS 为{na }的前 n 项和，nS = 23（na －1），求na （n∈N+） [解] nS = 23（na －1） （n∈N+） ∴当 n=1 时，1a = 23（1a －1） ∴1a =3 当 n≥2 时， na =nS －1nS = 23（na －1）－23（1na－1） ∴na =31na ∴na =n3 （n∈N+） 6．“已知na ，1na，nS 的关系，求na ”型 方法：构造与转化的方法. 例 8. 已知{na }的前 n 项和为nS ， 且na +2nS （1nS－1na－na ）=0（n≥2），1a = 21，求na . [解] 依题意，得nS －1nS+2nS ·1nS=0 ∴nS1－11nS=2 ∴nS1=２+2（n －１）=2n ∴nS = n21 ，1nS=)1(21n ∴na =nS -1nS =－2× n21×)1(21n =)1(21nn （2n） ...