数字信号处理_证明题(32道)_1

题干 证明DFT 的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k) 答案 证：因为：10( )( )NknNnX kx n W  所以：111000DFT[ ( )]( )( )NNNknmnknNNNnnmX nX n Wx m WW  11()00( )NNn m kNmnx mW  由于：1()00 , 0 1Nn m kNnNmNkWmNkmN  所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k) k=0, 1, …, N－1 题干 如果 X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT 的初值定理：101(0)( )NkxX kN 答案 证: 由IDFT 定义式： 可知： 题干 证明: 若 x(n)为实序列，()[ ( )]NX KDFT x n 则 X(k)为共轭对称序列， 即*()()X KXNk。 答案 101,,1,0 )(1)(NkknNNnWkXNnx101(0)( )NkxX kN 证: 由DFT 的共轭对称性。 将 x(n)表示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) 则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］， 是 X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFT［jxi(n)］, 是 X(k)的共轭反对称分量。 所以：如果 x(n)为实序列，则 Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0， 故 X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即*()()X KXNk。 题干 证明：若 x(n)实偶对称，即 x(n)=x(N－n)，且()[ ( )]NX KDFT x n 则 X(k)也实偶对称。 答案 证明：由DFT 的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以： 当 x(n)=x(N－n)时， 等价于上式中 xop(n)=0, x(n)中只有 xep(n)成分，所以 X(k)只有实部，即 X(k)为实函数。 又实序列的DFT 必然为共轭对称函数， 即 X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以 X(k)实偶对称。 题干 证明： 若 x(n)实奇对称， 即 x(n)=－x(N－n)，且()[ ( )]NX KDFT x n 则 X(k)为纯虚函数并奇对称。 答案 证明：由DFT 的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以：当 x(n)=－x(N－n)时， 等价于 x(n)只有 xop(n)成分（即 xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(N－k)=－X(N－k), 为纯虚奇函数。 题干 证明频域循环移位性质：设 X(k)=DFT［x(n)］， Y(k)=...