最全的递推数列求通项公式方法

1 高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 na满足211 a，nnaann211，求na 。 解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1( n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa )111()4131()3121()211(nn 所以naan111 211 a，nnan1231121 变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14 分） 已知数列1}{1 aan 中，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解：kkkaa)1(122，kkkaa3212 kkkkkkaaa3)1(312212，即kkkkaa)1(31212 )1(313 aa， 2235)1(3 aa …… …… kkkkaa)1(31212 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(21)13(23])1()1()1[()333(22112kkkkkaa 将11 a代入，得 2 1)1(21321112kkka， 1)1(21321)1(122kkkkkaa。 经检验11 a也适合，)(1)1(21321)(1)1(21321222121为偶数为奇数nnannnnn 类型2 nnanfa)(1  解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列 na满足321 a，nnanna11，求na 。 解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1( n个等式累乘之，即 1342312••••nnaaaaaaaann1433221naan11 又 321 a，nan32 例:已知31 a，nnanna23131 )1( n，求na 。 解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan•••• 34 375 26331 348 531nnnnn  。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满...