不等式的证明VIP免费

不等式的证明---比较法10/23/24(1)作差比较法例1.已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.练一练:已知a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).ab例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为.若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时溶液的浓度增加到.将这个事实抽象为数学问题,并给予证明.ambmamabmb已知a,b,m都是正数,并且a2,求证:loga(a-1)0,a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小,并说明理由.(1)|log(1)|log(1)|log(1)||log(1)|log(1)aaxaaxxxxx10111xx(1)(1)1log(1)log11xxxx1补充练习:dcDdbcaCdbcaBdcdbcadbcabaadbcdcba.22..baA.)(,22,,,,,,,.1中最大的是则且都是正数已知D2011111.,,,,()....mnmnmnmnmnmnmnmnqqmnNqqqAqqqBqqqCqqqD若且则与的大小关系是不能确定A113313555555553.,0,0,,()A.B.C.D.nnabababaaabababab在等比数列和等差数列中则与的大小关系为不能确定AabDabCbaBbabbaabbaba2.2..A.a)(2,,2,,10.42222中最大的值是则设B________,,,42,5.5222满足的条件为则实数若设baQPaaabQbaP12abab或__________,,),(log),log(log21,2log,10.621212121的大小关系是则若MQPbaMbaQbaPbaQ>P>M不等式的证明---综合法、分析法10/23/24(1)综合法在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系:AA1A2A3BAn…(已知)(结论)逐步推演不等式成立的必要条件例1.已知a,b,c>0,且不全相等.求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.例2.已知a1,a2,…,anR∈+,且a1a2…an=1.求证:(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n.练一练:已知a,b,cR∈+.求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.(2)分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系B(结论)(条件)逐步推演不等式成立的充分条件B1ABn…B3B2用分析法证“若A,则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,只需证明命题B2为真,……只需证明命题Bn为真,只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.练1:若a,b,m,n都是正实数,且m+n=1.试证明:.manbmanb例3.求证:2736.练2:若m,nR∈+,求证:.2mnnmmnmn练3:已知a,bR∈+,且2c>a+b.求证:22.ccabaccab例4.已知a,b,c>0,求证:222222.abbccaabcabcabccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2:故又证明不等式的证明---反证法、放缩法10/23/24(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.例1.已知x,y>0,且x+y>2.证明:中至少...