2024年数列极限数学归纳法VIP免费

第四章数列、极限、数学归纳法一、考纲要求1.掌握：①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前ｎ项和公式;②能够运用这些知识解决一些实际问题;③掌握极限的四则运算法则.2．理解：①数列的有关概念;②能根据递推公式算出数列的前几项;③会求公比的绝对值小1的无穷等比数列前n项的极限.3．了解:①了解递推公式是给出数列的一种方法;②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理,并能用数学归纳法证明一些简单问题.二、知识结构(一)数列的一般概念数列可以看作以自然数集（或它的子集)为其定义域的函数,因此可用函数的观点认识数列，用研究函数的方法来研究数列。数列表示法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。列表法：就是把数列写成a１，a2,a……an……或简写成｛an},其中an表示数列第n项的数值,n就是它的项数，即ａn是n的函数。解析法:如果数列的第n项能用项数n的函数式表示为ａn=f(ｎ)这种表示法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。图像法：在直角坐标系中,数列可以用一群分散的孤立的点来表示,其中每一个点(ｎ,an)的横坐标n表示项数，纵坐标an表示该项的值。用图像法可以直观的把数列an与n的函数关系表示出来。递推法:数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：①给出数列的一项或几项。②给出数列中后面的项用前面的项表示的公式，这是数列的又一种解析法表示称为递推法。例如:数列２,4，5,，…递推法表示为a1＝2其中aｎ＋1=an+又称该数列aｎ＋１=ａｎ＋（n∈N)的递推公式。由数列项数的有限和无限来分数列是有穷数列和无穷数列。由数列项与项之间的大小关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和无界数列、通项公式是研究数列的一个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本方法,给出数列的前n项，求这个数列的通项公式并不是唯一的,也并非所有的数列都能写出通项公式。数列｛aｎ}的前n项和是:ａ1＋a2+ａ3+…＋ａn记作Sn,要正确认识数列前n项和的符号,Sｎ是下角码n的函数。数列的前n项和与通项之间的关系是ａn=S1(n＝1）Sｎ－Ｓn－1(n≥2)本单元习题主要有两种类型：①已知数列的通项公式或递推关系写出数列或数列的某一项、某几项。②由题设写出数列的通项公式。（二)等差数列和等比数列1．等差数列定义、表示法及性质(1)等差数列定义中,要准确地理解,稳健地应用公差d，准确的理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，稳健地应用即an＋１-an=d是证明数列是等差数列的理论依据之一,而ｄ的符号又决定等差数列的单调性。(2)如果一个数列{ａn}是等差数列，公差为ｄ，则这个数列可表示为:①列表法：ａ1,a1＋d，a1+２ｄ…a1+(ｎ-1)ｄ…简写成｛a１+(n-1)d}特殊地，只有三项时可写成:a－d，ａ,ａ+d,只有四项时可写成:a-3d,ａ-ｄ,ａ+d,a+３d.表示规律：奇数项公差为d,偶数项公差为2d，它们是解决等差问题的计算工具。②解析法:aｎ-an－1=d(ｎ≥2,n∈N）特殊地,只有三项时可写成A－x=y-A即2Ａ＝ｘ＋ｙ其中A叫做x、y的等差中项，它们是解决等差问题的证明工具。③图像法：an=ａ1+(n-1)d可改写成ａn=ｄn+a1-ｄ这表明当ｄ≠0时ａｎ是关于n的一次函数,因此在直角坐标系中等差数列的图像是：以d为斜率在y轴上截距为a１－d并且n为自然数的一条直线上一些分散的点。(3）等差数列的通项公式已知a1和公差d，则有an=a1+(ｎ-１)d已知am和公差d,则有an=aｍ+(n-m)d（ｍ,n∈Ｎ)（4)等差数列的前n项和公式已知a1和ａn，则有Sn=（n∈N)已知a1和d，则有Sn=na1+d(n∈N)（5)等差数列的性质①在等差数列的前n项中，与两端等距离的两项之和均相等，即:a1+aｎ=a2+ａｎ－1=ａ3+an-2＝……=aｒ＋an-ｒ+1＝……②在等差数列中,若某两项的项数之和是定值，则相应的两项的数值之和也是定值。即：在等差数列{an}中，如果m＋n=p+q(m,n,p，ｑ∈Ｎ)，那么,am＋an=ａp+aq③用图像法表示等差数列时,其各点均在以公差d为斜率的一条直线上,即d=(m,n∈N,ｍ≠ｎ)④等差数列等距离的取出若干项，仍然是等差数列。⑤公差为d的等差数列,按k项分组,每ｋ项之和组成的数列仍是等差数列，其公差为k2d.即:ａ1+ａ２＋ａ３＋…+ak,...