第三章量子力学中的力学量lt

第三章例题剖析 1 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动 [解]：（1）iLzˆ 22222 ˆˆzLL 2222222ˆ2ˆˆIILILHz 能量的本征方程： )()(ˆEH，or )()(2222EI  引入 222IE 0)()(222dd iAe)( 由波函数的单值性 )()2( iiAeAe)2(  12ie n22  n ,2,1,0n InEn222，inAe 其中 21A （2） ILH2ˆˆ2，在球极坐标系中 22222sin1sinsin1ˆL 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆEH ),(),(sin1sinsin122222EI  ),(),(sin1sinsin1222 其中22IE，以上方程在  0的区域内存在有限解的条件是 必须取)1( ll，),2,1,0(l，即 )1( ll ,2,1,0l 于是方程的形式又可写成 ),()1(),(sin1sinsin1222ll 此方程是球面方程，其解为 ),(),(lmY lml,,2,1,0,2,1,0 由)1( ll及IE2，可解得体系的的能量本征值 IllEl2)1(2 ,2,1,0l 2 氢原子处于 3 2 12 1 113,,,,,,44rrr    状态，求： （1）归一化波函数 （2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。 解：（1）求归一化波函数  201,,rd  22321211013,,,,44Arrd   2219522161685AAA 32121113,,,,,,1010rrr    （2） 能量无确定值 可能取值：443222,188sseeEE   概率：2232131010CC...