罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

内容概要 名称 主要内容（3.1、3.2） 3.1 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔中值定理 )(xfy ：（1）在][a,b 上连续；（2）在)(a,b内可导；（3）)()(bfaf 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得0)(/ξf 拉格朗日中值定理 )(xfy ：（1）在][a,b 上连续；（2）在)(a,b内可导 至 少 存 在 一 点)b,a(使 得)(/ ξfabafbf)()( 柯西中值定理 )(xf、)(xg：（1）在][a,b 上连续，在)(a,b内可导；（2）在)(a,b 内每点处0)(/xg 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得abafbfξgξf)()()()(// 3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与 型未定式 通分或取倒数化为基本形式 1）型：常用通分的手段化为00型或型； 2）0型：常用取倒数的手段化为00型或型，即： 0001/0 或01/ 0  ； 取对数化为 基本形式 1） 00 型：取对数得 00 ln 00e ，其中000 ln 001/0 或0 ln 001/ 0  ； 2）1型：取对数得ln 11e， 其中00ln 101/0 或ln 101/ 0 ； 3）0 型：取对数得ln00e， 其中000 ln01/0   或0 ln01/ 0   。 课后习题全解 习题 3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 。 （1）]511[32)(2.,,xxxf； （2）]30[3)(,,xxxf。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf，得到的根ξ 便为所求。 解：（1） 32)(2xxxf在 ]511[.,上连续，在 )5.1,1(内可导，且0)51()1(.ff， ∴32)(2xxxf在 ]511[.,上满足罗尔定理的条件。令( )410fξξ 得)511(41.,ξ即为所求。 （2） xxxf3)(在]30[ ,上连续，在)30( ,内可导，且0)3()0( ff， ∴xxxf3)(在]30[ ,上满足罗尔定理的条件。令 ( )302 3ξfξξξ，得)30(2,ξ即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间]10[ ,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。 思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)( )1 0fff ξ，若得到的根]10[ ,ξ 则可验证定理的正确性。 解： 32( )452yf xxxx...