内容概要 名称 主要内容(3.1、3.2) 3.1 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔中值定理 )(xfy :(1)在][a,b 上连续;(2)在)(a,b内可导;(3))()(bfaf 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得0)(/ξf 拉格朗日中值定理 )(xfy :(1)在][a,b 上连续;(2)在)(a,b内可导 至 少 存 在 一 点)b,a(使 得)(/ ξfabafbf)()( 柯西中值定理 )(xf、)(xg:(1)在][a,b 上连续,在)(a,b内可导;(2)在)(a,b 内每点处0)(/xg 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得abafbfξgξf)()()()(// 3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与 型未定式 通分或取倒数化为基本形式 1)型:常用通分的手段化为00型或型; 2)0型:常用取倒数的手段化为00型或型,即: 0001/0 或01/ 0 ; 取对数化为 基本形式 1) 00 型:取对数得 00 ln 00e ,其中000 ln 001/0 或0 ln 001/ 0 ; 2)1型:取对数得ln 11e, 其中00ln 101/0 或ln 101/ 0 ; 3)0 型:取对数得ln00e, 其中000 ln01/0 或0 ln01/ 0 。 课后习题全解 习题 3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值 。 (1)]511[32)(2.,,xxxf; (2)]30[3)(,,xxxf。 知识点:罗尔中值定理。 思路:根据罗尔定理的条件和结论,求解方程0)(/ξf,得到的根ξ 便为所求。 解:(1) 32)(2xxxf在 ]511[.,上连续,在 )5.1,1(内可导,且0)51()1(.ff, ∴32)(2xxxf在 ]511[.,上满足罗尔定理的条件。令( )410fξξ 得)511(41.,ξ即为所求。 (2) xxxf3)(在]30[ ,上连续,在)30( ,内可导,且0)3()0( ff, ∴xxxf3)(在]30[ ,上满足罗尔定理的条件。令 ( )302 3ξfξξξ,得)30(2,ξ即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间]10[ ,上的正确性。 知识点:拉格朗日中值定理。 思路:根据拉格朗日中值定理的条件和结论,求解方程(1)(0)( )1 0fff ξ,若得到的根]10[ ,ξ 则可验证定理的正确性。 解: 32( )452yf xxxx...