2抛物线(二次函数)中的直角三角形

O11xy抛物线中的直角三角形 基本题型： 已知AB ，抛物线02acbxaxy，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PAPB）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A为直角时（即APAB）： ②以B为直角时（即BPBA）： 利用两点的斜率公式求出ABk，因为两直线垂直斜率乘积为1 ，进而求出PA（或PB ）的斜率k ；进而求出PA（或PB ）的解析式； 将PA（或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 典型例题： 例1 、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=2(1)(0)a xc a与x轴交于A、B 两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为3ykx,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝ 3 1010。 （1）求抛物线的解析式； (2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P，使以N、P、C 为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作 x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?（2009年成都） 例2 、 如 图 ， 抛 物 线两点轴交于与BAxbxaxy,32， 与 y 轴 交 于 点 C ， 且OAOCOB3． （I）求抛物线的解析式； （II）探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以点CAP,,为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由； （ III ） 直 线131xy交 y 轴 于 D 点 ， E 为 抛 物 线 顶 点 ． 若DBC，求,CBE的值． 例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2），点 C（－1，0），如图所示，抛物线22yaxax经过点 B。 （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P （点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 同步训练： 1、(淮安)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数221ya x 图象的顶点为 P，与 x 轴交点为 A、B，与 y 轴交...