7第七章傅里叶变换

1 第七章 傅立叶变换 §7.0 引言 7.0.1 “变换”的概念 在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。 例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数 A与 B 之积 AB （商BA/），可使用对数变换、变换后的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成： （1）、对数变换：对已知的 A、 B 分别求出对数Alg、Blg； （2）、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和BAlglg (差BAlglg)； （3）、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是 AB （BA/）： )lg(lglg 1BAAB ()lg(lglg/1BABA)。 这 种 方 法 总 起 来 说 是 根 据 定 理 ：“ 积 （ 商 ） 的 对 数 等 于 对 数 的 和 （ 差 ）：BAABlglg)lg( (BABAlglg)/lg()”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系： 乘（除）运算 常规域中的运算： 正实数 A，B 积 AB（商 A/B） 对数变换 lg（·） 反对数变换 lg-1（·） 变换后之域中的运算： 对数 lgA、lgB 对数和 lgA+lgB=lg(AB) 加（减）运算 ( 对数差 lgA-lgB=lg(A/B) ) 从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与其对数值在一定条件（即 A、B 为正实数）下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，变换后的数常称为变换前的数的象。 再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。 当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等），通过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容易。这时使用变换常常是为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变换建立一种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已,此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采用拉普拉斯变换建立数学模型—传递函数—后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。 7.0.2 “积分变换”的概念 ...