GARCH模型介绍

1 GARCH 模型与应用简介 (2006, 5) 0. 前言……………………………………………..2 1. GARCH 模型………………………………………….7 2. 模型的参数估计………………………………………16 3. 模型检验………………………………………………27 4. 模型的应用……………………………………………32 5. 实例……………………………….……………………42 6. 某些新进展……………………….…………………...46 参考文献………………………………………………50 附录: 常用的条件期望公式……………………....51 2 0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介) 考察严平稳随机序列{yt}, 且 Eyt<. 记其均值Eyt=, 协方差函数k=E{(yt-)(yt+k-)}. 其条件期望(或条件均值): E(ytyt-1,yt-2,…)(yt-1,yt-2,…), (0.1) 依条件期望的性质有 E(yt-1,yt-2,…)=E{E(ytyt-1,yt-2,…)}= Eyt =. (0.2) 记误差(或残差): et  yt -(yt-1,yt-2,…). (0.3) 由(0.1)(0.2)式必有: Eet=Eyt-E(yt-1,yt-2,…) =Eyt-Eyt=0, (0-均值性) (0.4) 及 Eet2=E[yt -(yt-1,yt-2,…)]2 =E{(yt-)-[(yt-1,yt-2,…)-]}2 (中心化) =E(yt-)2+E[(yt-1,yt-2,…)-]2 -2E(yt-)[(yt-1,yt-2,…)-] =0+Var{(yt-1,yt-2,…)} -2EE{(yt-)[(yt-1,yt-2,…)-]yt-1,yt-2,…} ( 根据 Ex=E{E[xyt-1,yt-2,…]} ) =0+Var{(yt-1,yt-2,…)} -2E{[(yt-1,yt-2,…)-]E[(yt-)yt-1,yt-2,…]} 3 ( 再用 E[x( yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…] =( yt-1,yt-2,…) E[xyt-1,yt-2,…]; 并取x= (yt-), ( yt-1,yt-2,…)=[(yt-1,yt-2,…)-]; 由(0.1)(0.2)可得 ) =0+Var{(yt-1,yt-2,…)}-2E[(yt-1,yt-2,…)-]2 =0-Var{(yt-1,yt-2,…)}. (0.5) 即有: 0=Var(yt)=Var((yt-1,yt-2,…))+Var(et). (0.6) 此式表明, yt 的方差(=0) 可表示为: 回归函数的方差(Var((yt-1,yt-2,…)), 与残差的方差(Var(et))之和. 下边讨论 et 的条件均值与条件方差. 为了符号简便, 以下记 Ft-1={yt-1,yt-2,…}. 首先考虑 et 的条件均值: E(etFt-1)=E{yt-( yt-1,yt-2,…)  Ft-1} =E(yt Ft-1)- E{( yt-1,yt-2,…)  Ft-1} = ( yt-1,yt-2,…)- ( yt-1,yt-2,…) =0. (0.7) 再看条件方差: Var(etFt-1)...