一类线性递推数列极限的矩阵解法及应用

一类线性递推数列极限的矩阵解法及应用 1.引言 一般地，如果数列的通项公式给出，则可以按有关极限运算法则或数列的敛散性判别法求极限或判断敛散性．但我们还常会遇到不少数列只给出递推关系，不知道其通项公式，对这种类型的极限，一般教科书中均安排在极限存在准则之后去讨论，且仅对特殊类型进行讨论，其他的未能深入研究，这样使得学生对对这类问题的认识和掌握很不充分、全面，这一点甚是遗憾.在数学分析教材或硕士研究生入学考试中，求递推数列的极限是重点、难点，同样也是热点．如果说求极限问题是数学分析教材或硕士研究生入学考试中专家、教授们精心呵护的美丽花园的话，那么求递推数列的极限无疑是这座花园里的一朵奇葩 .由此可见，递推数列在数学中占有很重要的一席之地，为此，本文就一元二阶线性递推关系数列和二元线性递推方程组，利用矩阵理论的知识给出一种直接用递推关系的系数所确定的特征方程的特征根判别敛散性的方法和具体的极限求法，并将利用矩阵理论的知识求解一元二阶线性递推关系数列的方法推广到求解一元 r阶线性递推关系数列通项公式，且举了几个例子加以说明 . 2.主要部分 2.1一元二阶齐次线性递推数列2112nnnak ak a（12,k k 是常数）的极限解法及定理 设 A112,,nnak kBa ，（1,2n  ），则2112nnnak ak a可以表示为2nnaAB ，再设1210kkC ，由矩阵的递推关系可得： 21121nnnnBCBC BCB，于是可得数列 na的通项公式 121nnaACB . （1） 对于（1）式，我们用线性递推数列 na的特征方程212kk的特征根1 ，2 作进一步的表示，下面分2种情况讨论： （i）当12时，由矩阵理论知，111nnCXDX，其中1111200nnnD ，矩阵X 是将1 ，2 分别代入()0EC X即方程组 112212()00k xk xxx后所得的基础解系的行向量为行所构成的矩阵.这样可得数列 na的通项公式为1121nnaAXDXB ，又因为11,,,A B X X 都是已知的，所以存在常数,p q ，使得 11212.nnnapq  （2） （ii）当120时，由2120kk得，21020,kk ，从而 1121200100210012101110nnnnnnkknnCnn ...