三角形的五心[强烈推荐]

三角形的五心 三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r的计算： 设三角形面积为S，并记p=12(a+b+c)，则r=Sp． 特别的，在直角三角形中,有 r=12(a+b－c)． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆． A 类 例题 例 1 证明重心定理。 证法 1 如图，D、E、F 为三边中点，设BE、CF 交于G，连接EF，ABCOABCDEFGABCDEFIaIKHEFDABCMABCDEFG 显然EF ∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． 又设AD、BE 交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G'、G 重合． 即三条中线AD、BE、CF 相交于一点G． 证法2 设BE、CF 交于G，BG、CG 中点为H、I．连EF、FH、HI、IE， 因为EF ∥=12BC，HI ∥=12BC， 所以 EFHI 为平行四边形． 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF． 同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF 共点． 即定理证毕． 链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明：如图，设AB、BC 的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O 也在AC 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O是Δ ABC 外接圆的圆心．因而称为外心． 内心定理的证明：如图，设∠A、∠C 的平分线相交于I、过 I 作 ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此 I 也...