关 于 前 n 个 自 然 数 的 平 方 和 公 式 的 证 明 方 法 湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲 在 《 数 列 》 教 学 过 程 中 ， 大 家 都 能 熟 练 掌 握 前 n 个 自 然 数 的 平 方 和 公式 ：2222211234(1 )(21)6nSnn nn， 但 多 数 学 生 不 知 道 如 何 去证 明 与 推 导 ， 为 了 能 让 学 生 了 解 书 本 知 识 ， 并 能 有 所 拓 展 ， 特 总 结 如 下 几种 证 明 方 法 ， 一 方 面 解 决 学 生 的 疑 惑 ， 另 一 方 面 能 使 学 生 举 一 反 三 ， 有 所创 新 。 在 和 学 生 探讨证 明 方 法 时， 许多 学 生 想到了 用数 学 归纳法 。 方法一：数学归纳法 当1n 时 ， 左 边 =211 ， 右 边 = 1 1 (1 1) (2 1 1)16 左 边 =右 边 ∴1n 时 ， 原 式 成 立 . 当2n 时 ， 左 边 =221 +25 ， 右 边 = 12 (2 1) (2 2 1)56 左 边 =右 边 ∴2n 时 ， 原 式 成 立 . 假设 nk 时 ，22221123(1)(21)6kk kk成 立 ， 则1nk 时 ， 22222222123(1)1 (1)(21)(1)617(1)(1)361 (1)(276)61 (1)(2)(23)61 (1)[(1) 1][2(1) 1]6kkk kkkkkkkkkkkkkkk左边 左 边 =右 边 ∴1nk 时 ， 原 式 成 立 . ∴对 任 意 nN ，2222211234(1)(21)6nSnn nn都 成 立 。 数 学 归 纳 法 步 骤 简 单 、计算方便。 但是， 归 纳 法 只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归 纳 法 ,而是通过等式左边的222221234n,一步 步 把右边的1 (1)(21)6 n nn“从无到有 ”地推算出来的. 方法二：观察规律法 记22222212( )12345,( )12345S nn S nn n 1 2 3 4 5 … n 1( )S n 1 3 6 10 15 … (1)2n n 2( )S n 1 5 14 30 55 … ? 发现规律 n 1 2 3 4 5 … n 21( )( )S nS n 33 53 73 93 113 … 213n 212121(1)(1)(21)( )( )3326nnn nn n...
