反常积分习题

1 反常积分概念 1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）dxxex20； （2）dxxex2； （3）dxex01； （4）12)1(xxdx； （5）5442xxdx； （6）xdxex sin0； （7）xdxex sin； （8）021xdx 解（1）因为 02 dxxe x 0022limAxAxdxxedxxe 021lim2 Ae xA 21021212121lim2AAe 故dxxex20收敛，其值为 21。 （2）00222dxxedxxedxxexxx =00212 dxxe x 故dxxex2收敛，其值为 0。 （3）002lim1AdxxAxedxe 02lim2 AexA 2)22(lim2AAe 故dxe x01收敛，其值为2。 （4）1122)1(lim)1(AAxxdxxxdx AAdxxxx12111lim 1)11)1(ln(limAxnxxA )1ln11(lnlimAAAAA 2ln1 因此 12)1(xxdx收敛，其值为2ln1。 （5）4)1(254422xdxxxdx 2121224)12(4)12(xdxxdx 0202421421tdttdt 02021141uduudu 0arctan0arctan41limAuAuA )]arctan([arctanlim41AAA 42241arctan2lim41 AA 所以5442xxdx收敛，其值为4 （6）因为xdxexexexdxexxxxcossinsinsin xdxecoxexexxxsinsin 从而cexxx dxexx2cossinsin 故 00)2cossin(limsinAexxx dxexAx 212cossinlimAAeAA 21 可见0sin x dxex收敛，其值为21 （7）因为x dxexex dxexxxcossinsin xdxexexexxxsincossin 所以cexxx dxexx2cossinsin 于是 x dxex dxeAxAx00sinlimsin 02cossinlimAexxxA 212cossinlimAAeAA 因最后的极限不存在，故 00sinsinsinx dxex dxex dxexx 发散 （8）0202221sec1tamdxdx 20202secsecsec...