精品文档---下载后可任意编辑H(n,3)上相对 2-设计的 Fisher 型下界和一组正交基中期报告首先，我们定义 H(n,3)为具有 n 个元素和每个元素有 3 个可能取值的集合。相对 2-设计是指一个大小为 k 的子集族 F，其中任意大小为 2的子集在 F 中出现的次数恰好为 λ（λ 可以为 0）。现在，我们来介绍如何构造 H(n,3)上相对 2-设计的 Fisher 型下界。首先，我们考虑 n = 3 的情况。此时，H(3,3)有 27 个元素，我们可以将其表示为下面的矩阵：```1 1 11 1 21 1 31 2 11 2 21 2 31 3 11 3 21 3 32 1 12 1 22 1 32 2 12 2 22 2 32 3 12 3 22 3 3精品文档---下载后可任意编辑3 1 13 1 23 1 33 2 13 2 23 2 33 3 13 3 23 3 3```现在，我们将每一行看作一个点，每个元素看作一维，可以将H(3,3)看作一个三维空间中的 27 个点。接下来，我们构造一个相对 2-设计的 Fisher 型下界。具体地，我们先令 F 包含空集和全集，即 F={∅,{1,2,3}}。然后，我们在当前已有子集中选择两个大小为 2 的子集，加入到 F 中，使它们出现的次数均为 1。具体来说，我们选择{1,2}和{1,3}，并将它们加入到 F 中，得到F={∅,{1,2,3},{1,2},{1,3}}。此时，F 构成了一个相对 2-设计。注意到 F 的大小为 4，而 H(3,3)中的点数为 27，因此我们需要继续加入更多的子集。我们观察一下已有的子集，可以发现它们有一个很明显的性质：对于任意的元素 i，它在恰好出现在三个子集中。换句话说，已有的子集中，任意两个子集共有 2 个元素，也就是说它们有 2 维是重合的。因此，我们考虑在第三维上进行扩展，以得到更多的子集。具体来说，我们可以选择每一维的元素取值的某个子集，将它们合并得到一个新的子集，然后将这个新的子集加入到 F 中。例如，假如我们选择第三维上的前两个元素，得到子集{1,2,1}和{1,2,2}，这两个子集在前两维上是相同的，但在第三维上不相同。因此，它们可以成为一个大小为 3 的子集。类似地，我们可以继续选择其他的元素取值子集，得到更多的大小为 3 的子集。经过计算，我们发现可以使用以下 6 个大小为 3 的子集扩展 F：{1,2,1} {1,2,2} {1,3,1}{1,3,2} {2,3,1} {2,3,2}精品文档---下载后可任意编辑加入这些子集后，F={∅,{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,1},{1,2,2},{1,3,1},{1,3,2},{2,3,1},{2,3,2}}，它满足相对 2-设计条件。其中，子...
