ω-平坦模与环的ω-弱整体维数的开题报告

精品文档---下载后可任意编辑ω-平坦模与环的 ω-弱整体维数的开题报告本文将探讨 ω-平坦模与环的 ω-弱整体维数之间的关系。首先简要介绍平坦模、ω-平坦模和环的概念，随后介绍 ω-弱整体维数的概念及其性质，最后讨论 ω-平坦模与环的 ω-弱整体维数之间的联系。1. 平坦模、ω-平坦模和环的定义设 A 和 B 为交换环，M 为 B-模。一个 B-模 N 是平坦的，当且仅当对于任意的 B-模同态 f: L → N 和 B-模同态 g：L → M，存在 B-模同态 h：N → M，使得 h o f = g。一个 B-模 N 是 ω-平坦的，当且仅当对于任意的 B-模同态 f： L → N 和 B-模同态g：L → M，存在一族 B-模同态 h_i：N → M，使得 h_i o f = g_i（i ∈ I）。一个交换环 R 是局部环，当且仅当 R 除了 0 以外的元素都是可逆元。一个交换环 R 是局部有限环，当且仅当 R 是局部环且 | R | < ∞。设 R 为局部有限环，M 为左 R 模。一个 M 上的幺环 R-代数 A 是环，当且仅当 A是 R-代数，且 R 到 A 的中心 Z(A)是有限维的。2. ω-弱整体维数的定义和性质设 A 为一个环，M 为 A-模。对于任意的非负整数 n，定义A_n(M) = {x ∈ M | a_n(x) ⊆ R}其中 a_n(x)表示 x 在 M ⊗_A ... ⊗_A M（n 个 M 相乘）中的像。一个模 M 的 ω-弱整体维数是指sup{n | dim_R(A_n(M)) = ∞}其中 sup 表示上确界。假如 M 的 ω-弱整体维数是有限的，则称 M 是 ω-弱整体维数有限的。ω-弱整体维数满足以下性质：（1）假如 0 → M' → M → M'' → 0 是 A-模的短正合列，则 A(M) ≤ A(M') ∪ A(M'')，其中 A 表示 ω-弱整体维数。（2）假如 M 的 ω-弱整体维数有限，则 M 是平坦的。（3）假如 R 是局部有限环，M 是有限生成的 A-模，则 M 的 ω-弱整体维数有限。3. ω-平坦模与环的 ω-弱整体维数之间的联系定理：设 R 是一个局部有限环，M 为左 R-模。则 M 是 ω-平坦的，当且仅当 M的 ω-弱整体维数有限。精品文档---下载后可任意编辑证明：（必要性）假如 M 是 ω-平坦的，则 M 是平坦的，由 ω-弱整体维数的性质（2），M 的 ω-弱整体维数有限。（充分性）反证法。假设 M 的 ω-弱整体维数有限，但 M 不是 ω-平坦的，则存在一个 R-模同态 f：L → M 和 R-模同态 g：L → N，使得不存在 R-模同态 h：M → N，使得 h o f = g。则 A(L) ∩ A(N) = ∅。因为 L 是平坦的，所以 L 是 ω-平坦的。因为 M 的 ω-弱整体维数有限，所以引理得知对于充分大的 n，A_n(L) = A(L) 和 A_n(M) = A(M)，那么 A_n(L) ∩ A(N) = ∅，矛盾。因此，M 是 ω-平坦的。