第二章习题解答1、证明的充要条件是对任意含有的邻域U(，)（不一定以为中心）中，恒有异于的点属于（事实上，这样的还有无穷多个）。而的充要条件则是有含的邻域U(，)（同样，不一定以为中心）存在，使U(，)。证明：（1）充分性，用反证法，若，则的某一邻域U(，)中至多有有限个异于的点，，…，属于，令d(，)=，在U(，)中不含异于的点属于，这与条件矛盾。必要性，设U(，)是任意一个含有的邻域，则d(，)<，令=-d(，)>0，则U(，)U(，)。因为，所以，在U(，)中含于无穷多个属于的点，其中必有异于的点，即U(，)中有异于的点。（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有的邻域U(，)，则d(，)<，令=-d(，)，则U(，)U(，)，从而U(，)，故。2、设=是全体实数，是[0，1]上的全部有理点，求，，。解：=[0，1]，=，=[0，1]。3、设=是普通的平面，={(，)|+<1}，求，，。解：={(，)|+≤1}，9697={(，)|+<1}，={(，)|+≤1}。4、设=是普通的平面，是函数=的图形上的点作成的集合，求，。解：={(，)|≠0，=sin}{(0，)|-1≤≤1}=5、在中看第2题的，，各是由哪些点构成的。解：={(，0)|0≤≤1}==6、证明点集为闭集的充要条件是＝。证明：充分性，若＝，则＝，故，即为闭集。必要性，若为闭集，则，所以＝，即＝。7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是闭集，CF是开集，所以G－F＝GCF是开集，F－G＝FCG是闭集。8、设()是（－∞，＋∞）上的实值连续函数，则对于任何常数，＝{|()>}是开集，而＝{|()≥}是闭集。证明：若＝{|()>}＝，则是开集，若≠，，有()>，因为()在连续，所以>0，当U(，)时，有()>，即U(，)，所以是的内点，故是开集。同理可证{|()<}是开集，9899而＝{|()≥}是{|()<}的余集，所以是闭集。9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集。证明：设为闭集，令＝{|d(，)<}，则是开集。事实上，，有d(，)<，即d(，)<，所以，使d(，)＝<，令ε＝－，U(，ε)，有d(，)<ε，d(，)≤d(，)＋d(，)<ε＋＝，于是d(，)＝d(，)≤d(，)<，所以，U(，ε)，故是开集。以下证明＝。显然(＝1，2，…)，所以。，有(＝1，2，…)、d(，)<，令→∞得，d(，)＝0，所以100101或。因为是闭集。所以，故。于是，所以＝。设为开集，则C为闭集，所以存在开集，使C＝，而＝C(C)＝C()＝C，C为闭集，即可表示为可数个闭集的和集。10、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一完备集。证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位小数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第位小数用到数字7的小数是(0.…7，0.…8)（其中，，是0，1，2，…，9取完各种可能的－1个数）记这些开区间的全体为，设[0，1]上不用数字7表示的小数的全体为，则＝C[()∪(－∞，0)∪(1，＋∞)]而，102(－∞，0)，(1，＋∞)是可数个互不相交且无公共端点的开区间，所以是完备集。11、证明()为[，]上连续函数的充分必要条件是对任意实数C，集＝{|()≥C}，与＝{|()≤C}都是闭集。证明：若()为[，]上的连续函数，用与第8题相同的方法可证明和都是闭集。设、为闭集，若()在点不连续，则，使→，而()≠()，因而，>0，使|()－()|≥(＝1，2，…)即()≥()＋或()≤()－，若()≥()＋，令C＝()＋，则＝{|()≥C}，因为→，所以，而()<()＋＝C，所以，与为闭集矛盾；若()≤()－，则可导出与为闭集矛盾。10312、证明§2定理5。定理5：设≠，≠，则至少有一界点（即≠）。证明：因为≠，≠，所以存在，，设＝(，，…，)，＝(，，…，)，令＝(＋(1－)，＋(1－)，…，＋(1－))(0≤≤1)，＝sup{|}。以下证明。（1）若，则≠1（否则＝）当[0，1]，满足<<1时,。于是，对任意，存在，满足<<1，→，使，显然有→，所以。（2）若，则≠0，存在，0<<，→，，同样有。104
