精品文档---下载后可任意编辑【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，假如出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。【模型建立】 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来． 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形． 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转 180 度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心 O 旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度 θ 这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题． 如下图所示，设椅脚连线为长方形 ABCD，以对角线 AC 所在的直线为 x 轴，对称中心 O 为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕 O 点沿逆时针方向旋转角度 θ 后，长方形 ABCD 转至 A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角 θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点 O 旋转 θ 后的位置． 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来． 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是 θ 的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是 θ 的函数． 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是 θ 的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的 θ，其函数值至少有三个同时为 0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形 ABCD 是中心对称图形，绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转 180°后，长方形位置不变，但 A,C 和...
