精品文档---下载后可任意编辑定义 1(代数定义)已知圆锥曲线,则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换(另一变量也是如此),即可得到点的极线方程.特别地:(1)对于椭圆,与点对应的极线方程为;(2)对于双曲线,与点对应的极线方程为;(3)对于抛物线,与点对应的极线方程为.定义 2(几何定义)如图 1,是不在圆锥曲线上的点,过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点连接交于点,连接交于点,则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点,则过点的切线即为极线.由图 1 可知,同理为点对应的极线,为点所对应的极线. 称为自极三点形. 若连接交圆锥曲线于点则恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线的基本性质、定理定理 1(1)当在圆锥曲线上时,其极线是曲线在点处的切线;(2)当在外时,其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);(3)当在内时,其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 定理 2(配极原则)(1)点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点;(2)直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上. 由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 特别地:圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线. (1)对于椭圆而言,右焦点对应的极线为,即,恰为椭圆的右准线.对于椭圆而言,点对应的极线方程为; (2)对于双曲线而言,点对应的极线方程为;(3)对于抛物线而言,点对应的极线方程为. 定理 3 下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质.性质 1 如图,已知点是椭圆上任一点,极点精品文档---下载后可任意编辑,相应的极线. 椭圆在点处的切线与极线交于点,过点作直线的垂线,垂足为,则直线恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以为直径的圆(点除外). 性质 2 如图,已知点是双曲线上任一点,极点,相应的极线. 双曲线在点处的切线与极线交于点,过点作直线的垂线,垂足为,则直线恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以为直径的圆(点除外). 性质 3 如图,已知点是抛物线上任一点,极点,相应的极线为. 抛物线在点处的切线与极线交于点,过点作直线的垂线,垂足为,则直线恒过轴上的一个定点,且点的轨迹是以为直径的圆(点除外).定理 4 如图,设圆锥曲线的一个焦点为,与相应的准线为.(1)若过点的直线与圆锥曲线相交于两点,则在两点处的切线的交点在准线上,且;(2)若过准线上一...