巧用函数导数解题导数部分作为新教材中新增内容，虽说在选修内容中，但他作为数学学习的一种重要的工具，越来越受到重视，尤其在研究函数的性质，如单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率方面，一般都用函数导数来研究。可根据性质出函数草图，有了图像，函数的性质基本上都有了。但导数的作用远不止这些，下面就此讨论几种特殊用法：一、应用导数的定义求极限函数的导数定义是用极限来定义的，故也可以利用导数定义来求抽象函数的极限。例1、设，试求极限。分析：此例没给函数的解析式，是一抽象函数。但我们从形式上观察到此极限和函数在某处的导数定义相似，故想用此法可解。解析：例2、已知，，则的值为（）（A）-4（B）0（C）8（D）不存在解析：==－＝＝－３＋２＝８故应选答案C。说明：利用函数导数的定义来求抽象函数的极限，一是要知道函数在某点的导数；二是变形时注意导数定义的极限形式。二、构造函数，利用函数导数证明不等式近几年高考题中，凡涉及不等式证明的问题往往会出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题成为高考的难点问题，而用导数证明不等式是一种重要的方法。例3、证明对任意实数a和b，不等式成立。分析：从不等式的形式看，可直接构造辅助函数，再利用的导数判断其单调性，即可证明。证明：取，则在内单调递增。，即故所要证明的不等式成立。例4、当时，求证不等式成立分析：此题与例3不一样，不能直接构造辅助函数，需作变形，构造一个简单的三次多项式函数，再利用函数的单调性证明。证明：要证，只要证成立即可令则当，在上递增，即成立，故原不等式得证。说明：利用函数的导数证明不等式的主要步骤：首先构造辅助函数，再把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式成立。三、用导数解决一类数列问题数列是一种特殊的函数，因此某些数列求和问题可以化归为函数问题，用导数的方法加以解决。例5、（人教版《数学》第一册（上）P137第6题）求和。分析：此例开始想到用数列的错位相减法求和解题，有些复杂，但用导数法就简单多了。解：构造函数求该函数的导数得说明：这种构造函数的方法可以解决等差数列与等比数列对应项的积构成的新数列的前n项的和，可推广到一般形式。如等差数列的首项为a1，公差为d，。等比数列的首项为，公比为q()，则数列的通项记为：，所以求的前项和可以分为两项求和，前一项是等比数列求和，后一项可放上例解答。例6，求数列的最大项。分析：因数列的各项是函数当自变量x取正整数n时的函数值，而数列的最大项就是函数在正整数集内所取得最大值，故可按求函数的最大值大方法求之。解：设,则令，则得，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减。且，而故，故数列的最大值为第10000项，这一项的值为说明：本题考察区间为半闭半开区间，即，如果不检验当时，的极限，容易产生错误，所以在研究半开半闭区间时，注意对区间的端点用求极限来确定最值。四、求近似值例7，求的近似值。分析：与接近，而容易求，利用导数的定义中改变量来求近似值，,(弧度)。解：是在时的值。而是容易算出来的。因此应令，则得以上就题目中的特点，构造函数，利用函数导数特征来解题（除第一种方法求极限外），其余几种方法都需要先构造函数，再求导数来解题。可见构造辅助函数是用导数方法证明不等式、解决数列问题、求近似值的关键。构造辅函数时，有的可以直接构造，有的需稍作变形，要反复研究题型特点，从而构造出恰当的函数，推证过程就会变得特别简洁、明快。这种方法不仅有独到的功能，而且可以培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率。参考文献：1、《中学数学》2005年第三期2、《中学数学》2005年第九期3、《中学数学》2005年第十期4、《中学数学教学与参考》2005年第九期
