对勾函数模型VIP专享

1 第十周 对勾函数模型 重点知识梳理 1．对勾函数定义 对勾函数是指形如：y＝ax＋bx(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”． 2．对勾函数y＝ax＋bx(a>0，b>0)的性质 (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，−2√ᵄᵄ ]∪[2√ᵄᵄ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－ba)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． (5)渐近线：y 轴与 y=ax(或y=-ax) 3．y＝ax＋bx(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±ba. 求分界点方法：令 ax ＝bx⇒ x＝±ba. 2 特殊的，a>0 时，y＝x＋ax的单调区间的分界点：± a. 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a>0，b>0，则x>0 时，ax＋bx≥2 ab. 当且仅当ax ＝bx，x＝ba时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和bx都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝bx中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解． 典型例题剖析 例1 已知f(x)＝x＋5x，求f(x)在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]． 【解析】如图， f(x)在 (－∞ ，－5)，( 5，＋∞ )上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数． (1)由对勾函数性质可知f(x)在[1,2]上单调递减， ∴f(x)min＝f(2)＝412. 3 (2)因为f(x)在[3,4]上单调递增， 所以f(x)min＝f(3)＝423. (3)因为f(x)在[－3，－5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f(－3)＝－423， f(－1)＝－6， 所以f(x)min ＝－6. 变式训练 已知函数f(x)＝x2＋5x2＋4，求f(x)的最小值，并求此时x 的值． 【解析】f(x)＝x2＋5x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4 ＝x2＋4＋1x2＋4 令t＝x2＋4，则t≥ 2，y＝t＋1t. y＝t＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当 t＝2 时，ymin＝2＋12＝52， 此时，x2＋4＝2，x＝0. 综上，f(x)的最小值为52，此时x 的值为0. 例 2 求函数f(x)＝x2－2x－1x＋2(0≤x≤3)的值域． 【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2, 2≤t≤5， y＝(t－2)2－2(t－2)－1t ＝t2－6t＋7t＝t＋7t－6,2≤t≤5. y＝t＋7t－6 在[2，7 ]上单调递减，在[ 7， 5]上单调递增， 4 ∴当t＝7时，ymi...