对数平均不等式的应用

对 数 平 均 不 等 式 的 应 用 ★基本不等式链：已知2220,0, 1122ababababab（当且仅当ab取等号），即：调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数，简记为：调几算方。 ★对数平均不等式：对于正数 ,a b ，且ab，定义 lnlnabab为 ,a b 的对数平均值，且若2220,11lnln22ababababbabaabab，即：调和平均数 几何平均数 对数平均数  算术平均数 平方平均数，简记为：调几对算方。 证 法 1（ 比 值 代 换 ） 令1atb ， 则(1)(1)lnln2ln2ababb tb tabb tabt 112(1)1lnln21ttttttttt， 构 造 函 数 可 证 ． 证 法 2（ 主 元 法 ） 不 妨 设 ab，lnlnlnln0lnlnabababababababbaba， 记( )lnlnabf aabba，( ,)ab ， 则211()( )0222babfaaaba aa ab ， 得( )f a 在 ( ,)b  上 单 调 递 减 ， 有( )( )0f af b， 左 边 得 证 ， 右 边 同 理 可 证 ． 证 法 3（ 构 造 函 数 法 ） 先 证 ：lnlnababab 要 证lnlnababab， 只 需 证 lnlnlnabaababbbaab， 令1axb  ， 只 需 证12ln,1xxxx ,设1( )2ln,1f xxxxx ， 则22221(1)'( )10xfxxxx  ， 可 得( )f x 在(1,) 上 单 调 递 减 ，1( )(1)02lnf xfxxx。 再 证 ：lnln2ababab 要 证lnln2ababab， 只 需 证1lnlnln221aaababbbaabb， 令1axb  ， 只 需 证1ln12xxx ，2ln1,112x xx 。 设2ln( )1,112xg xxx ， 则2221(1)'( )0(1)22 (1)xg xxxx x ， 故( )g x 在(1,) 上 单 调 递 减 ，2ln( )(1)0, 112xg xgx 。 ★常见等价变形： 2()lnln(0)abababab;lnln(0)abababba 【题型 1】证明极值点偏移问题 【例 1】已知函数( )e xf xx ，如果12xx，且12()()f xf x，证明：122xx． 【 证 明 】12()()f xf x即1212xxxexe，1122lnlnxxxx， 则12121lnlnxxxx（ 正 数12,x x ...