- 1 - 答案详解 - 2 - - 3 - ： - 4 - - 5 - 本题主要考查导数在研究函数中的应用。 （1 ）求出比较其与 的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。 （2 ）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于 ，便可得到 的取值范围。 （3 ）若存在， 使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。 - 6 - 答案详解 （Ⅰ），由是的极值点得，所以。于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。因此，当时，； 当时，。 所以，在上单调递减，在上单调递增。 （Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。当时，函数在单调递增， 又，，故在有唯一实根，且。当时，；当时，；从而当时，取得最小值。由得：，，故。 综上：当时，。 解析: 本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。 （Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的 的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的 的取值范围即为单调减区间。 （Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。 - 7 - 例题5： 函数。 （Ⅰ）讨论的导函数零点的个数； （Ⅱ）证明：当时，。 答案详解 （Ⅰ）的定义域为，（）。当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。又，当 满足且时，，故当时，存在唯一零点。 （Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。由于，所以。 故当时，。 解析: 本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。 （Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对 进行分类讨论。当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。 （Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。 题型 3 ：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 例题：已知函数。 （1）若，求 的值； （2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值。 - 8 - 答案详解 （1）的定义域为，由已知得，。对求导，得（）， ①若，则恒成立，在上递增，则时， ，所以不合题意； ②若，则...
