导数求极值与最值

1 函数导数求极值，最值 1．（本小题满分12 分）已知cbxaxxxf23)(，在1x与2x时，都取得极值。 （Ⅰ）求ba,的值； （Ⅱ）若2,3x都有211)( cxf恒成立，求c 的取值范围。 【答案】（Ⅰ）a ＝ 32 ，b ＝－6. （Ⅱ）31302c或3132c 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题设有baxxxf23)(2'=0 的两根为2,1xx，a ＝ 32 ，b ＝－6. （6 分） （Ⅱ）当2,3x时，由（1）得有)1(),3(min)(minffxf，即cxf27)(min （8 分） 所以由题意有min)(xf＝－ 72 +c>1c - 12 （10 分）解得31302c或3132c （12 分） 考点：函数导数求极值，最值 点评：不等式恒成立转化为求函数最值 2．已知函数xaxxf2)(，xxxgln)(，其中0a。 （1）若1x是函数)()()(xgxfxh的极值点，求实数a 的值。 （2）若对任意的1x ， ex,12 （e 为自然对数的底数）都有)()(21xgxf成立，求实数a 的取值范围。 【答案】（1） 3a （2）a 的取值范围为 ,21e 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。 （1）xxaxxhln2)(2 ，其定义域为（0，） （1 分） xxaxh12)('22  1x是)(xh的极值点0)1('h 即032  a0a3a （2）对任意的1x ， ex,12 都有)()(21xgxf成立 对任意1x ， ex,12 都有maxmin)()(xgxf，运用转化思想来求解最值即可 2 4．已知函数( )ln()f xaxxaR． （1）求( )f x 的单调区间； （2）设2( )21g xxx ，若对任意1(0,)x  ，总存在 20,1x ，使得12()()f xg x，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当0a 时，( )f x 的单调增区间为(0,) .当0a 时，函数( )f x 的单调递增区间为1(0,)a，单调递区间为1(,)a （2）21ae  【解析】（1）对函数( )ln()f xaxxaR求导，令导函数大于（小于）0，得函数的增（减）区间，注意函数的定义域和a 的讨论；（2）要使任意1(0,)x  ，总存在 20,1x ，使得12()()f xg x，只需max( )f xmax( )g x，2( )21g xxx的最大值易求得是1，结合（1）得函数( )f x 最大值为11()1ln()1 1 ()fnaaa    ，解不等式得a 范围 （1）11( )(0...