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导数求极值与最值

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1 函数导数求极值,最值 1.(本小题满分12 分)已知cbxaxxxf23)(,在1x与2x时,都取得极值。 (Ⅰ)求ba,的值; (Ⅱ)若2,3x都有211)( cxf恒成立,求c 的取值范围。 【答案】(Ⅰ)a = 32 ,b =-6. (Ⅱ)31302c或3132c 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由题设有baxxxf23)(2'=0 的两根为2,1xx,a = 32 ,b =-6. (6 分) (Ⅱ)当2,3x时,由(1)得有)1(),3(min)(minffxf,即cxf27)(min (8 分) 所以由题意有min)(xf=- 72 +c>1c - 12 (10 分)解得31302c或3132c (12 分) 考点:函数导数求极值,最值 点评:不等式恒成立转化为求函数最值 2.已知函数xaxxf2)(,xxxgln)(,其中0a。 (1)若1x是函数)()()(xgxfxh的极值点,求实数a 的值。 (2)若对任意的1x , ex,12 (e 为自然对数的底数)都有)()(21xgxf成立,求实数a 的取值范围。 【答案】(1) 3a (2)a 的取值范围为 ,21e 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。 (1)xxaxxhln2)(2 ,其定义域为(0,) (1 分) xxaxh12)('22  1x是)(xh的极值点0)1('h 即032  a0a3a (2)对任意的1x , ex,12 都有)()(21xgxf成立 对任意1x , ex,12 都有maxmin)()(xgxf,运用转化思想来求解最值即可 2 4.已知函数( )ln()f xaxxaR. (1)求( )f x 的单调区间; (2)设2( )21g xxx ,若对任意1(0,)x  ,总存在 20,1x ,使得12()()f xg x,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)当0a 时,( )f x 的单调增区间为(0,) .当0a 时,函数( )f x 的单调递增区间为1(0,)a,单调递区间为1(,)a (2)21ae  【解析】(1)对函数( )ln()f xaxxaR求导,令导函数大于(小于)0,得函数的增(减)区间,注意函数的定义域和a 的讨论;(2)要使任意1(0,)x  ,总存在 20,1x ,使得12()()f xg x,只需max( )f xmax( )g x,2( )21g xxx的最大值易求得是1,结合(1)得函数( )f x 最大值为11()1ln()1 1 ()fnaaa    ,解不等式得a 范围 (1)11( )(0...

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