第7 章 拉普拉斯变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用. 7.1 拉氏变换的基本概念 在代数中,直接计算 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 , 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数. 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法. 7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义 设函数当时有定义,若广义积分在的某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为的函数,记作,即 (7-1) 称(7-1)式为函数的拉氏变换式,用记号表示.函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数).函数称为的拉氏逆变换(或称为象原函数),记作 ,即. 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1) 在定义中,只要求在时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在时,. (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值.为了方便起见,本章我们把作为实数来讨论,这并不 影 响 对拉氏变换性质的研究和应用. (3)拉氏变换是将给 定的函数通过广义积分转换成 一个新 的函数,它是一种积分变换.一般 来说,在科 学 技 术 中遇 到 的函数,它的拉氏变换总是存 在的. 例 7-1 求一次 函数(为常数)的拉氏变换. 解 . 7.1.2 单位 脉 冲 函数及其 拉氏变换 在研究线性电 路 在脉 冲 电 动势 作用后所 产 生 的电 流 时,要涉 及到 我们要介绍的脉 冲 函数,在原来电 流 为零 的电 路 中,某一瞬 时(设为)进 入一单位 电 量的脉 冲 ,现 要确定电 路 上的电 流,以表示上述 电 路 中的电 量,则 由 于电 流 强 度 是电 量对时间 的变化率 ,即 328.957812028.6N53)164.1(164.1lg53)20lg28.9lg5781(lg3128.6lglgNN)(tf0tdtetfpt0)(PP)(PFdtetfPFpt0)()()(tf)()]([PFtfL)(PF)(tf)(tf)(tf)(PF)(PF)()]([1tfPFL)]([)(1PFLtf)(tf0t0t0)(tfPPattf)(at,00000][)(][dtepaepatetdpadtateatLptptptpt2020][0paepadtepaptpt)0(p0t)(ti)(tQ...