拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

Laplace 变换在微分方程(组)求解范例 引言 Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace变换的概念以及一些性质. Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间0 +，上有定义，如果含参变量 s 的无穷积分  +0stef t dt对 s 的某一取值范围是收敛的.则称  F s  +0stef t dt 为 函数的Laplace 变换，( )f t 称 为 原 函数，( )F s 称 为 象 函数，并 记 为  L f tF s. 性质 1 (Laplace 变换存在定理)如果函数( )f t 在区间0 , 上逐段连续，且存在数0M ，00s ，使得对于一切0t 有0( )s tf tMe,则当0ss时，( )F s存在. 性质 2 (线性性质)设函数和满足 Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有     Lf tg tL f tL g t 其中 和 是常数. 性质 3 （原函数的微分性质）如果 ft， ft，，  nft 均满足 Laplace变换存在定理的条件，则    0L ftsL f tf 或更一般地，有       112000nnnnnL fts L f tsfsff. 性质 4 （象函数的微分性质）如果  L f tF s,则    +0stFstef t dtL tf t   或一般地有        011nnnnstnFst ef t dtL t f t   . 主要结论及推导 对于 Laplace 变换式，在积分号下对 s 求导，得到     0stFst f t edt  （*） 即     Lt f tFs 再对（*）式求导，可得   2L t f tFs  在一般情况下，对于任一正整数 n，有    1nnnndLftF sds 即    1nnnndL t f tL f tds   从而    1nnnmmndL t ftL ftds ...