第2 章 复习与思考题 1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质 答：形如 01( )niniiiikxxlxxx 的基函数称为 n 节点的拉格朗日插值基函数。 主要性质有 1）,0,()1,n kkiklxik 2）( )1nl x 2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1, x, x ,..., x }n 有何不同 答：牛顿差值基函数为00101{1,(xx ),(xx )(x x ),...,(xx )(x x )...(xx )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...nx xx ，这有单项式基不同。 3、什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质 答：形如01n 2n01n 2n -101n1[,,...,,][,,...,,][,,...]nnf x xxxf x xxxf x xxxx 称为( )f x 的 k 阶均差 具有以下的基本性质 1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用） K 阶均差可以表示为函数值0()f x，1()f x，…n()f x的线性组合，即 kj01kj 0j0jj-1jj+1j()[,,...]-kf xf x xxx xxxxxxx（）...()()...() 2）由性质 1 和 k 阶均差的性质 0101k-1010[,,...,][,,...,][,,...]kkkf x xxf x xxf x xxxx（分子前项多 xk） 3）若(x)f在[a,b]上存在 n 阶导数，且节点01n 2n,,...,,[a,b]x xxx，则 n 阶均差与导数的关系为 101( )[,,...]!nnff x xxn 4、写出 n+1 个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同 答： n+1 个点的拉格朗日插值多项式 000( )( )nnnink kkkkiikikxxL xy lxyxx ，(j1,2,....,n) n+1 个点的牛顿插值多项式 01[,,...,]kkaf x xx,(k1,2,....,n) 两者的主要差异是未知数不一致。 拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。 牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。 5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组 Axy ，其中系数矩阵 A 与使用的基函数有关。y 包含的是要满足函数值01(,,...)Tny yy，用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵 A 中非零元素的分布。 1）单项式基底 2）拉格朗日基底 3）牛顿基底 答： 1）单项式基底为2{1, x, x ,..., x }n ，已知数为012{,,,...,}nx xxx 则未知数为012{,,,...,}na aaa，则系数矩阵为 120001211112222121...1...1..................1...nnnnnnnxxxxxxAxxxxxx，无非零元素。 2）拉格朗日基底为01{ ( ), ( ),...,( )}nlx l xlx，已知数为012{,,,...,}nyyyy 未知数为01{ ( ), ( ),...,( )}nlx l...
