极限计算方法总结

1 极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1 ．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极 限 严 格 定 义 证 明 ， 例 如 ：)0,(0limabaanbn为常数且；5)13(lim2xx；时当不存在，时当，1||1||0limqqq nn；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2 ．极限运算法则 定理 1 已知 )(limxf，)(limxg都存在，极限值分别为 A，B，则下面极限都存在，且有 （1）BAxgxf)]()(lim[ （2）BAxgxf)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需BBAxgxf 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3 ．两个重要极限 （1） 1sinlim0xxx （2） exxx10)1(lim ； exxx)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。 4 ．等价无穷小 定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。 定理 3 当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是 0），且相互等价，即有： x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe 。 说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0x时， 13 xe ～ x3 ；)1ln(2x ～ 2x。 2 定理4 如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx 时的无穷小，且)(xf～)(1 xf，)(xg～)(1 xg，则当)()(lim110xgxfxx存在时，)()(l i m0xgxfxx也存在且等于)(xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。 5 ．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(xf和)(xg满足：（1）)(xf和)(xg的极限都是0 或都是无穷大； （2）)(xf和)(xg都可导，且)(xg的导数不为0； （3）)()(limxgxf存在（或是无穷大）； 则极限)()(limxgxf也一定存在，且等于)()(limxgxf，即)()(limxgxf=)()(limxgxf 。 说明：定理5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条...