构造直角三角形巧解题

- 1 - 培优《构造直角三角形巧解题》 福建 闽侯淘江中学 陈荣良 有些几何题,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化,就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法,供给同学们复习时参考. 一、利用已知直角构造直角三角形 例1 ：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060 , ∠B=∠D=090 ,AB=2,CD=1.则 BC 和 AD 的长分别为_______和_______. 解析:考虑到图中含有090 和060 的角,若延长 AD、BC 相交于 E,则可以构造出 Rt△AEB 和 Rt△CED,易知∠E=030 ， 从而可求出 DE=3 ，AE=4，BE=23 ，故 AD=4-3 ，BC=23 -2. 二、利用勾股定理构造直角三角形 例2 ：如图2,在四边形ABCD 中，AB=AD=8,∠A=060 ,∠ADC=0150 ,已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD 的面积. 解析:四边形ABCD是一个不规则的四边形,要求其面积,可设法变成特殊的三角形求解.连接 BD,则△ABD 是等边三角形, △BDC 是直角三角形,由于 AB=AD=BD=8,,求△ABD 的面积不难解决,关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出 DC,从而求出△BDC 的面积. 解答:连接 BD. AB=AD,∠A=060 ,∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060 ,BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150 , ∴∠BDC=，090 故△BDC 是直角三角形, 图1 E A C B D A B C D 图2 - 2 - 因为四边形ABCD 的周长为32, AB=AD=8, ∴BC+DC=32-16=16,BC=16-DC. 在Rt△BDC 中,222BCDCBD, 即222168DCDC.解得DC=6. ∴248621BDCS.用勾股定理求出等边△ABD 的高为34823. 31634821ABDS.∴24316BDCABDABCDSSS四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a23,面积为243 a . 【习题】、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 解：连结 AC ∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=21 AB·BC+21 AC·CD=36 点评：本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。 三、利用高构造直角三角形 例 3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点 P 在底边上从 B 向C 以 0....